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Hopf algebroid は, 代数的トポロジーでは, 複素コボルディズム理論で主に使われている。 この手の Hopf algebroid
については, Ravenel の本 [Rav86] の Appendix が基本的な (唯一の?) 文献である。 安定ホモトピー論, というより \(\mathrm {BP}\)
理論で使われる Hopf algebroid については Ravenel の本で十分だろう。
Equivariant homology のための \(\mathrm {RO}(G)\)-graded な Hopf algebroid は Ricka の [Ric15]
で使われている。
この Ravenel の本では可換環上の commutative algebra の圏での cogroupoid object
として定義されているが, 最近は数理物理, 特に quantum group や 非可換幾何に関係した分野でも Hopf algebroid
が使われるようになってきており, そのような例を扱うためには可換性をはずさないといけない。 可換性を一切 (ground ringも)
仮定しない定義もある。Lu の [Lu96] である。Quantum groupoid の文献をみてみるとよいかもしれない。
Hopf algebroid の定義の難しさは, antipode をどう定義するかであり, bialgebroid の定義は Takeuchi
によるもの [Tak77] が受け入れられているようである。
Lu の定義では, antipode があまり良い性質を持っていないので, それを改良するために Day と Street は antipode
を使わない定義を [DS97] で提案した。 別の定義が, Böhm と Szlachányi [BS04] により提案されている。Böhm と
Szlachányi は, 彼等の定義が Day と Street によるものとほぼ同じであることも示している。
このような現代的な Hopf algebroid の解説として, Böhm の [Böh09] があるので, まずはこれを読むのがよいかもしれない。この
Böhm の解説によると, Hopf algebroid は以下のようなところで現われる。
Hopf algebra の例として Steenrod algebra 等の cohomology 作用素のなす Hopf algebra の他に,
Lie algebra の universal enveloping algebra が重要であるが, Hopf algebroid についても, 冒頭で述べた
cohomology 作用素 (の dual) の成すものの他に, Lie algebroid, より一般に Lie-Rinehart algebra の
universal enveloping algebroid として得られるものがある。 ただ Rovi ら [KR15; Rov14] によると, Hopf
algebroid にはならない例も色々あるらしい。
Etingof と Varchenko の [EV98] は, Felder [Fel95] や Gervais と Neveu [GN84]
により提案された dynamical quantum Yang-Baxter equation に対応する代数的構造として, Lie
algebra \(\mathfrak {h}\) 上 の Hopf algebroid を定義している。この辺のことについては, Karaali の survey [Kar07]
がある。
非可換幾何学の文脈では, Connes と Moscovici [CM01] が Hopf algebroid の Hopf-cyclic
cohomology を定義している。特性類を考えるためである。 Kaminker と Tang は [KT09] で secondary
characteristic class を考えている。
Hopf algebra の世界では, 単位元を持たない場合のために, Van Daele [Van94] が multiplier Hopf
algebra を導入しているが, Hopf algebroid の multiplier 版は, Timmermann と Van Daele [TV18]
により考えられている。
- multiplier Hopf algebroid
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