Eilenberg-Watts Theorem

2つの環が Morita同値ならば, その module の圏の間の同値は bimodule を tensor することにより得られるわけであるが, より一般に, 2つの module の圏の間の functor が bimodule を tensor することにより与えられるための条件を調べたのが, Eilenberg [Eil60] と Watts [Wat60] である。

• classical Eilenberg-Watts theorem, つまり環 \(R\) と \(S\) に対し, additive functor \[ F : \rMod {R} \longrightarrow \rMod {S} \] が right adjoint を持つならば, \(F(R)\) は \(R\)-\(S\)-bimodule の構造を持ち, natural isomorphism \[ F(X) \cong X\otimes _{R} F(R) \] がある。

Eilenberg-Watts theorem は, 環論というより, ほとんど category theory の定理である。環が Abel群の成す monoidal category での monoid object であることを使っているだけだからである。実際, Niles Johnson の [Joh] では, Freyd の special adjoint functor theorem の系として扱われている。

• Freyd の general adjoint functor theorem と special adjoint functor theorem

Fuchs, Schaumann, Schweigert が [FSS20] で述べているように, 環上の module category のような良い category だと, special adjoint adjoint functor theorem により, right adjoint を持つことと right exact であることは同値になる。よってそのような場合, Eilenberg-Watts theorem は, right exact functor の category と bimodule の category の間の同値がある, と言っていることになる。またその category は Deligne tensor product として表すこともできる。 彼等は, その視点から finite linear category への一般化を考え, それを categorical Eilenberg-Watts theorem と呼んでいる。また, その枠組みを Eilenberg-Watts calculus と呼んでいる。

• categorical Eilenberg-Watts theorem

彼等は, [FSS21] で, finite tensor category の上の module category の場合を考えている。

また, より一般の monoidal category での monoid object 上の module の成す category について, Eilenberg-Watts の定理を拡張しようという試みは, 70年代から行なわれている。Pareigis の [Par77; Par78] である。 Schauenburg の [Sch03] も見るとよい。

Eilenberg-Watts theorem の global化, つまり scheme 上の quasicoherent sheaf の成す category への一般化は, Nyman [Nym10] により得られている。

また, monoidal model category への一般化を考えているのは, Hovey [Hov] である。

References

[Eil60]

Samuel Eilenberg. “Abstract description of some basic functors”. In: J. Indian Math. Soc. (N.S.) 24 (1960), 231–234 (1961).

[FSS20]

Jürgen Fuchs, Gregor Schaumann, and Christoph Schweigert. “Eilenberg-Watts calculus for finite categories and a bimodule Radford \(S^4\) theorem”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 373.1 (2020), pp. 1–40. arXiv: 1612.04561. url: https://doi.org/10.1090/tran/7838.

[FSS21]

Jürgen Fuchs, Gregor Schaumann, and Christoph Schweigert. “Module Eilenberg-Watts calculus”. In: Hopf algebras, tensor categories and related topics. Vol. 771. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., [Providence], RI, [2021] ©2021, pp. 117–136. arXiv: 2003. 12514. url: https://doi.org/10.1090/conm/771/15509.

[Hov]

Mark Hovey. The Eilenberg-Watts theorem in homotopical algebra. arXiv: 0910.3842.

[Joh]

Niles Johnson. Morita Theory For Derived Categories: A Bicategorical Perspective. arXiv: 0805.3673.

[Nym10]

A. Nyman. “The Eilenberg-Watts theorem over schemes”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.11 (2010), pp. 1922–1954. arXiv: 0902.4886. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.12.030.

[Par77]

B. Pareigis. “Non-additive ring and module theory. II. \(\mathcal {C}\)-categories, \(\mathcal {C}\)-functors and \(\mathcal {C}\)-morphisms”. In: Publ. Math. Debrecen 24.3-4 (1977), pp. 351–361.

[Par78]

B. Pareigis. “Non-additive ring and module theory. III. Morita equivalences”. In: Publ. Math. Debrecen 25.1-2 (1978), pp. 177–186.

[Sch03]

Peter Schauenburg. “Actions of monoidal categories and generalized Hopf smash products”. In: J. Algebra 270.2 (2003), pp. 521–563. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0021-8693(03)00403-4.

[Wat60]

Charles E. Watts. “Intrinsic characterizations of some additive functors”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 11 (1960), pp. 5–8.