Tangent Categories

可微分な多様体に対しては, tangent bundle が付随するが, tangent bundle を取る functor を一般化して, Rosický [Ros84] が category の上の tangent structure を導入した。それを元に, Cockett らが tangent category の理論を構築している。

• tangent category

まずは, Cockett と Cruttwell の [CC14] を見てみるのが良いと思う。Cockett と Cruttwell [CC18] は [BCS15] も参照している。

当然, 可微分多様体の differential calculus の類似を考えたくなるが, 例えば, Cruttwell と Lucyshyn-Wright [CL18] は de Rham cohomology を考えている。

Cockett らにより導入された圏論的構造としては, differential category もあるが, Cartesian differential category と tangent category の関係は, Cockett と Cruttwell の [CC14] の §4 に書かれている。

また, 圏論的構造と微分と言えば, Goodwillie calculus を思い出すが, tangent category との関係が, Bauer, Burke, Ching [BBC] により得られている。彼等は, そのために \((\infty ,1)\)-category を用いて tangent \(\infty \)-category を導入している。

• tangent \(\infty \)-category

References

[BBC]

Kristine Bauer, Matthew Burke, and Michael Ching. Tangent infinity-categories and Goodwillie calculus. arXiv: 2101.07819.

[BCS15]

R. Blute, J. R. B. Cockett, and R. A. G. Seely. “Cartesian differential storage categories”. In: Theory Appl. Categ. 30 (2015), Paper No. 18, 620–687. arXiv: 1405.6973.

[CC14]

J. R. B. Cockett and G. S. H. Cruttwell. “Differential structure, tangent structure, and SDG”. In: Appl. Categ. Structures 22.2 (2014), pp. 331–417. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-013-9312-0.

[CC18]

Robin Cockett and Geoffrey Cruttwell. “Differential bundles and fibrations for tangent categories”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 59.1 (2018), pp. 10–92. arXiv: 1606.08379.

[CL18]

G. S. H. Cruttwell and Rory B. B. Lucyshyn-Wright. “A simplicial foundation for differential and sector forms in tangent categories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 13.4 (2018), pp. 867–925. arXiv: 1606. 09080. url: https://doi.org/10.1007/s40062-018-0204-8.

[Ros84]

J. Rosický. “Abstract tangent functors”. In: Diagrammes 12 (1984), JR1–JR11.