Presheaves

位相空間 \(X\) 上の前層 (presheaf) とは, \(X\) の開集合の成す poset (を category とみなしたもの) \(\cO _{X}\) 上の contravariant functor のことである。それに貼り合せの条件を要求したものが層である。

より一般に, Grothendieck topology が指定された category でも前層と層が定義できる。

前層の morphism は, natural transformation として定義されるので, 前層の category は, functor と natural transformation の成す category にすぎない。なので, Abelian category に値を持つ前層の category は Abelian category になる。そして, 層の圏も Abelian category になり, ホモロジー代数ができる。 そのため, 層は derived category などを用いて調べられてきた。

• derived category

Finite \(T_{0}\)-space と poset の対応の元で, finite \(T_{0}\)-space 上の層は underlying poset 上の前層と一対一に対応することが知られている。よってこの場合は, 前層, つまり contravariant functor で話が済んでしまう。

• poset 上の presheaf

逆に poset の category に値を持つ presheaf, すなわち poset の図式は, topological combinatorics でよく使われる。Quillen の Theorem A の poset 版が有用だからである。他にも topos の研究で Hyland, Johnstone, Pitts [HJP80] により導入された tripos も poset の図式である。Frey によるホモトピー論的な考察 [Fre23] もある。

• diagram of posets
• poset limit
• tripos

小圏とみなすことのできる構造としては, poset と対照的なのは monoid であるが, monoid 上の presheaf とは, 単に monoid の表現のことである。

ホモトピー論を行なうためには, simplicial set に値を持つ層, つまり simplicial sheaf を考えたい。

Jardine [Jar86; Jar87] による発見は, simplicial sheaf の場合, model category として考えると, sheaf の条件は simplicial presheaf の category 上の model structure として表すことができるということである。

• simplicial presheaf の category の projective model structure と injective model structure
• site 上の simplicial presheaf の category の Jardine による model structure

その後, その Jardine の model structure は, projective model structure や injective model structure の hypercover に関する Bousfield localization であることも示されている。Dugger, Hollander, Isaksen の [DHI04] など。

これらは, motivic homotopy theory で重要な役割を果している事実であるが, そのための simplicial presheaf の category の model structure には様々な選択肢がある。 Voevodsky の lecture notes [VRØ07] には, 次のものが挙げられている。

• Blander [Bla01]
• Dugger [Dug01]
• Dugger, Hollander, Isaksen [DHI04]
• Dundas, Röndigs, Østvær [DRØ03]
• Isaksen [Isa05]
• Jardine [Jar06]
• Voevodsky [Voe10]

References

[Bla01]

Benjamin A. Blander. “Local projective model structures on simplicial presheaves”. In: \(K\)-Theory 24.3 (2001), pp. 283–301. url: https://doi.org/10.1023/A:1013302313123.

[DHI04]

Daniel Dugger, Sharon Hollander, and Daniel C. Isaksen. “Hypercovers and simplicial presheaves”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 136.1 (2004), pp. 9–51. arXiv: math/0205027. url: https://doi.org/10.1017/S0305004103007175.

[DRØ03]

Bjørn Ian Dundas, Oliver Röndigs, and Paul Arne Østvær. “Motivic functors”. In: Doc. Math. 8 (2003), pp. 489–525.

[Dug01]

Daniel Dugger. “Universal homotopy theories”. In: Adv. Math. 164.1 (2001), pp. 144–176. arXiv: math / 0007070. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.2014.

[Fre23]

Jonas Frey. “Categories of partial equivalence relations as localizations”. In: J. Pure Appl. Algebra 227.8 (2023), Paper No. 107115, 25. arXiv: 1912.06726. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2022.107115.

[HJP80]

J. M. E. Hyland, P. T. Johnstone, and A. M. Pitts. “Tripos theory”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 88.2 (1980), pp. 205–231. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100057534.

[Isa05]

Daniel C. Isaksen. “Flasque model structures for simplicial presheaves”. In: \(K\)-Theory 36.3-4 (2005), 371–395 (2006). arXiv: math/ 0401132. url: https://doi.org/10.1007/s10977-006-7113-z.

[Jar06]

J. F. Jardine. “Intermediate model structures for simplicial presheaves”. In: Canad. Math. Bull. 49.3 (2006), pp. 407–413. url: https://doi.org/10.4153/CMB-2006-040-8.

[Jar86]

J. F. Jardine. “Simplicial objects in a Grothendieck topos”. In: Applications of algebraic \(K\)-theory to algebraic geometry and number theory, Part I, II (Boulder, Colo., 1983). Vol. 55. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1986, pp. 193–239. url: https://doi.org/10.1090/conm/055.1/862637.

[Jar87]

J. F. Jardine. “Simplicial presheaves”. In: J. Pure Appl. Algebra 47.1 (1987), pp. 35–87. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90100-9.

[Voe10]

Vladimir Voevodsky. “Homotopy theory of simplicial sheaves in completely decomposable topologies”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.8 (2010), pp. 1384–1398. arXiv: 0805 . 4578. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.11.004.

[VRØ07]

Vladimir Voevodsky, Oliver Röndigs, and Paul Arne Østvær. “Voevodsky’s Nordfjordeid lectures: motivic homotopy theory”. In: Motivic homotopy theory. Universitext. Springer, Berlin, 2007, pp. 147–221. url: https://doi.org/10.1007/978-3-540-45897-5_7.