Pre-Lie Algebras and Post-Lie Algebras

Burde の [Bur06] によると, pre-Lie algebra あるいは left-symmetric algebra と呼ばれる代数的構造は, 既に19世紀に Cayley により rooted tree algebra の文脈で考えられていたようである。

Burde は, その後 Vinberg [Vin63] と Koszul [Kos61] により独立に再発見されたと言っている。一方, Szczesny の [Szc] や Munthe-Kaas と Lundervold の [ML13; ML19] によると, Gerstenhaber [Ger63] によっても独立に発見されたらしい。

このように, 様々な人に再発見されているので, 呼び方も人によって様々である。 正確には, left pre-Lie algebra と right pre-Lie algebra があるが, left pre-Lie algebra は left-symmetric algebra, right pre-Lie algebra は right symmetric algebra とも呼ばれる。 Munthe-Kaas と Lundervold の [ML13; ML19] によると, 後に control theory でも登場し, そこでは chronological algebra という名前で呼ばれているようである。

このような歴史的なことも含めた pre-Lie algebra の survey としては, Burde の [Bur06] を読むのが良いと思う。

名前の通り, Lie algebra の一歩手前のものであるが, どこから Lie algebra に向う途中かというと, associative algebra から \([-,-]\) をとり Lie algebra に向う途中である。つまり associative algebra は pre-Lie algebra とみなすことができるし, pre-Lie algebra から anti-symmetrization を行なうことによって Lie algebra が得られる。

Pre-Lie algebra の構造を記述する operad は, Chapoton と Livernet [CL01] により構成されている。

Pre-Lie algebra と \(\mathcal {L}ie\)-operad との関連, そしてそれらに関する問題については, Markl の [Mar07] がある。 restricted Lie algebra に対応するものは, Cesaro [Ces] が考えている。

2015年度の「春の学校」での Vallette の講義では, dg operad と dg cooperad の covolution algebra を作るときに使われた。

Pre-Lie algebra に関連したものとして, その Vallette が [Val07] で導入した post-Lie algebra というものもある。 Munthe-Kaas と Lundervold の [ML13] によると, numerical analysis に登場する pre-Lie algebra の構造を一般化するために考えられたもののようである。

• post-Lie algebra

Bai らの [Pan+12] によると, 可積分系への応用 [BGN10] もあるようである。 Munthe-Kaas と Lundervold は, 微分幾何学にも使えると言っている。

Poincaré-Birkhoff-Witt theorem については, Dotsenko [Dot20] が考えている。

一般化としては, 例えば以下のようなものがある。

• \(\mathrm {PL}_{\infty }\)-algebra [CL01]
• pre-Lie-Rinehart algebra [FMM21]
• pre-Lie algebroid

References

[BGN10]

Chengming Bai, Li Guo, and Xiang Ni. “Nonabelian generalized Lax pairs, the classical Yang-Baxter equation and PostLie algebras”. In: Comm. Math. Phys. 297.2 (2010), pp. 553–596. arXiv: 0910.3262. url: https://doi.org/10.1007/s00220-010-0998-7.

[Bur06]

Dietrich Burde. “Left-symmetric algebras, or pre-Lie algebras in geometry and physics”. In: Cent. Eur. J. Math. 4.3 (2006), pp. 323–357. arXiv: math-ph/0509016. url: https://doi.org/10.2478/s11533-006-0014-9.

[Ces]

Andrea Cesaro. On PreLie algebras with divided symmetries. arXiv: 1509.05599.

[CL01]

Frédéric Chapoton and Muriel Livernet. “Pre-Lie algebras and the rooted trees operad”. In: Internat. Math. Res. Notices 8 (2001), pp. 395–408. arXiv: math/0002069. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792801000198.

[Dot20]

Vladimir Dotsenko. “Functorial PBW theorems for post-Lie algebras”. In: Comm. Algebra 48.5 (2020), pp. 2072–2080. arXiv: 1903.04435. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2019.1710173.

[FMM21]

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[Ger63]

Murray Gerstenhaber. “The cohomology structure of an associative ring”. In: Ann. of Math. (2) 78 (1963), pp. 267–288. url: https://doi.org/10.2307/1970343.

[Kos61]

Jean-Louis Koszul. “Domaines bornés homogènes et orbites de groupes de transformations affines”. In: Bull. Soc. Math. France 89 (1961), pp. 515–533. url: http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1961__89__515_0.

[Mar07]

M. Markl. “Lie elements in pre-Lie algebras, trees and cohomology operations”. In: J. Lie Theory 17.2 (2007), pp. 241–261. arXiv: math/0509293.

[ML13]

Hans Z. Munthe-Kaas and Alexander Lundervold. “On post-Lie algebras, Lie-Butcher series and moving frames”. In: Found. Comput. Math. 13.4 (2013), pp. 583–613. arXiv: 1203.4738. url: https://doi.org/10.1007/s10208-013-9167-7.

[ML19]

Hans Z. Munthe-Kaas and Alexander Lundervold. “Correction to: On post-Lie algebras, Lie-Butcher series and moving frames [ MR3085679]”. In: Found. Comput. Math. 19.1 (2019), p. 241. url: https://doi.org/10.1007/s10208-018-9398-8.

[Pan+12]

Yu Pan, Qing Liu, Chengming Bai, and Li Guo. “PostLie algebra structures on the Lie algebra \(\mathrm {SL}(2,\bbC )\)”. In: Electron. J. Linear Algebra 23 (2012), pp. 180–197. arXiv: 1111 . 6128. url: https://doi.org/10.13001/1081-3810.1514.

[Szc]

Matt Szczesny. Pre-Lie algebras and Incidence Categories of Colored Rooted Trees. arXiv: 1007.4784.

[Val07]

Bruno Vallette. “Homology of generalized partition posets”. In: J. Pure Appl. Algebra 208.2 (2007), pp. 699–725. arXiv: math/0405312. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.03.012.

[Vin63]

È. B. Vinberg. “The theory of homogeneous convex cones”. In: Trudy Moskov. Mat. Obšč. 12 (1963), pp. 303–358.