Numerical Analysis

Numerical analysis は計算機科学なのだろうか。 応用数学と言っていいのだろうか。よくわからないが, かなり応用寄りの分野には違いないだろう。

ところが, 数学的にも色々面白いことがあるようである。例えば, Euclid空間の有限個の点が与えられたとき, その間の点を補間 (interpolate) するような曲線を探すというのは, もちろん重要な問題である。 そのような場面で登場する box spline という関数は, hyperplane arrangement や凸多面体の lattice point の数や体積といった興味深い問題と関係しているようである。

• box spline

これについては, De Concini と Procesi による本 [DP11] がある。彼等は, [CP] という論文も書いている。その論文の目的は, Dahmen と Micchelli による一連の仕事 [DM84; DM88; DM89] を見直すことのようである。

Lundervold と Munthe-Kaas の [LM] によると, Hopf algebra も登場するようである。 彼等の [ML] によると, その元になっているのは, pre-Lie algebra や post-Lie algebra といった Lie algebra に類似した構造である。

References

[CP]

C. De Concini and C. Procesi. The algebra of the box spline. arXiv: math/0602019.

[DM84]

Wolfgang Dahmen and Charles A. Micchelli. “On the approximation order from certain multivariate spline spaces”. In: J. Austral. Math. Soc. Ser. B 26.2 (1984), pp. 233–246. url: http://dx.doi.org/10.1017/S033427000000446X.

[DM88]

Wolfgang Dahmen and Charles A. Micchelli. “The number of solutions to linear Diophantine equations and multivariate splines”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 308.2 (1988), pp. 509–532. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001089.

[DM89]

Wolfgang Dahmen and Charles A. Micchelli. “On multivariate \(E\)-splines”. In: Adv. Math. 76.1 (1989), pp. 33–93. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(89)90043-1.

[DP11]

Corrado De Concini and Claudio Procesi. Topics in hyperplane arrangements, polytopes and box-splines. Universitext. New York: Springer, 2011, pp. xx+384. isbn: 978-0-387-78962-0.

[LM]

Alexander Lundervold and Hans Munthe-Kaas. Hopf algebras of formal diffeomorphisms and numerical integration on manifolds. arXiv: 0905.0087.

[ML]

Hans Munthe-Kaas and Alexander Lundervold. On post-Lie algebras, Lie–Butcher series and moving frames. arXiv: 1203.4738.