多面体に含まれる lattice point の数に関する問題

凸多面体は, Euclid空間の部分空間として定義されるので, その中に含まれる lattice point の数を調べるという問題が考えられる。 普通は頂点が lattice point になっている lattice polytope を考える。

• lattice polytope

この問題に関する本として Beck と Robins の [BR15] が出た。解説としては, Breuer の [Bre15] もある。 Robins は [Rob21] という解説も書いている。 Fourier transform を中心的な道具として使って書いてある。

多角形の場合, Pick の定理 [Pic99] という公式がある。 Higashitani と Masuda [HM17] によると, 他に 格子多角形に関する重要な結果として twelve-point theorem と呼ばれるものがある。

• Pick’s theorem
• twelve-point theorem

Brion の公式 [Bri88] は toric variety の equivariant \(K\)-theory を使っている点で興味深い。Beck と Haase と Sottile の [BHS09] にはその別証がある。 Hüttemann の [Hüt] にも別証がある。Hüttemann は, [Hüt07] でその一般化も考えている。

• Brion’s formula

Ehrhart の論文 [Ehr62] は, 多面体を拡大したときに lattice point の数がどのように増えるかを考察したものである。

• Ehrhart polynomial

References

[BHS09]

Matthias Beck, Christian Haase, and Frank Sottile. “Formulas of Brion, Lawrence, and Varchenko on rational generating functions for cones”. In: Math. Intelligencer 31.1 (2009), pp. 9–17. arXiv: math/ 0506466. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00283-008-9013-y.

[BR15]

Matthias Beck and Sinai Robins. Computing the continuous discretely. Second. Undergraduate Texts in Mathematics. Integer-point enumeration in polyhedra, With illustrations by David Austin. Springer, New York, 2015, pp. xx+285. isbn: 978-1-4939-2968-9; 978-1-4939-2969-6. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4939-2969-6.

[Bre15]

Felix Breuer. “An invitation to Ehrhart theory: polyhedral geometry and its applications in enumerative combinatorics”. In: Computer algebra and polynomials. Vol. 8942. Lecture Notes in Comput. Sci. Springer, Cham, 2015, pp. 1–29. arXiv: 1405 . 7647. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-15081-9_1.

[Bri88]

Michel Brion. “Points entiers dans les polyèdres convexes”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 21.4 (1988), pp. 653–663. url: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1988_4_21_4_653_0.

[Ehr62]

Eugène Ehrhart. “Sur les polyèdres rationnels homothétiques à \(n\) dimensions”. In: C. R. Acad. Sci. Paris 254 (1962), pp. 616–618.

[HM17]

Akihiro Higashitani and Mikiya Masuda. “Lattice multipolygons”. In: Kyoto J. Math. 57.4 (2017), pp. 807–828. arXiv: 1204.0088. url: https://doi.org/10.1215/21562261-2017-0016.

[Hüt]

Thomas Hüttemann. On a theorem of Brion. arXiv: math/0607297.

[Hüt07]

Thomas Hüttemann. “A cohomological interpretation of Brion’s formula”. In: Homology Homotopy Appl. 9.2 (2007), pp. 321–336. arXiv: math/0607464. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1201127340.

[Pic99]

Georg Pick. “Geometrisches zur Zahlenlehre”. In: Sitzenber. Lotos (Prague) 19 (1899), pp. 311–319.

[Rob21]

Sinai Robins. A friendly invitation to Fourier analysis on polytopes. 33 \(^{\mathrm {o}}\) Colóquio Brasileiro de Matemática. Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, 2021, p. 253. isbn: 978-65-89124-35-1. arXiv: 2104.06407.