Lattice Polytopes

\(\R ^{d}\) の中の \(\Z ^{d}\) のように, 実ベクトル空間 \(V\) の中に lattice \(L\) があるとき, 頂点が \(L\) 上にある凸多面体を lattice polytope という。 様々な場面, 例えば toric variety の研究や combinatorial commutative algebra などで登場する。 \(d=2\) の場合, つまり多角形の場合には, Pick の公式などの特有の現象がある。

• lattice points in convex polytope
• lattice polygon

頂点が \(\Z ^{d}\) 上にある場合を integer polytope とか integral polytope という。\(\Q ^{d}\) 上にある場合は rational polytope という。

• integer polytope or integral polytope
• rational polytope

特に, 頂点の座標が \(0\) か \(1\) のものを \(0/1\)-polytope という。

• \(0/1\)-polytope

Integer polytope になっている多面体のクラスとしては, 次のものがある。

• symmetric edge polytope や directed edge polytope
• matroid polytope
• Newton polytope

単体であり, 更に頂点が \(\Z ^{d}\) の affine basis になっているものを unimodular simplex という。

• unimodular simplex

Lattice polytope を調べるときに有用な方法の一つが, unimodular simplex による単体分割である。 より一般に unimodular simplex で覆われているという条件も有用である。

• unimodular triangulation
• unimodular cover

Lattice polytope の unimodular triangulation があり, その単体の数を数えることができると Ehrhart polyonomial を求めることができる。

• Ehrhart polynomial

Lattice polytope の unimodular triangulation については, 例えば Haase らの [Haa+21] がある。Tam の修士論文 [Tam15] も見るとよい。 より一般に, point configuration の単体分割については, De Loera らの本 [DRS10] がある。

• triangulation of point configuration

Unimodular triangulation や, より一般に unimodular cover を持つ lattice polytope の持つ性質として normal というものがある。Gubeladze による survey [Gub] がある。

• normal lattice polytope

References

[DRS10]

Jesús A. De Loera, Jörg Rambau, and Francisco Santos. Triangulations. Vol. 25. Algorithms and Computation in Mathematics. Structures for algorithms and applications. Berlin: Springer-Verlag, 2010, pp. xiv+535. isbn: 978-3-642-12970-4. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-12971-1.

[Gub]

Joseph Gubeladze. Normal polytopes: between discrete, continuous, and random. arXiv: 2206.06306.

[Haa+21]

Christian Haase, Andreas Paffenholz, Lindsay C. Piechnik, and Francisco Santos. “Existence of unimodular triangulations—positive results”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 270.1321 (2021), pp. v+83. arXiv: 1405.1687. url: https://doi.org/10.1090/memo/1321.

[Tam15]

Ricci Yik Chi Tam. “Ehrhart Theory and Unimodular Decompositions of Lattice Polytopes”. Master’s Thesis. MA thesis. University of Western Ontario, 2015. url: http://hdl.handle.net/10012/9105.