高次のコホモロジー作用素

コホモロジー作用素だけで分からない情報も, 高次コホモロジー作用素を用いると調べることができる場合がある。

まず最も簡単な高次作用素として, 高次の Bockstein 作用素がある。

• Bockstein 作用素

これは, Bockstein spectral sequence の微分とみなすことができる。

Steenrod 作用素から定義される高次コホモロジー作用素については, Harper の本 [Har02] がある。Secondary operation についてであるが。

Baues は [Bau06] で, secondary Steenrod algebra なるものを定義している。Nassau の [Nas12] をまず見てみるとよいだろう。Baues のものを単純にした構成を見つけたようである。 Algebra ではなく, Steenrod algebra を最初と最後に持つ4項の完全列である。 もちろん, “algebra” というからには, 積を持ってはいるが。Baues はこのようなものを pair algebra と呼んでいる。

• secondary Steenrod algebra

どうやら, これを用いると Adams spectral sequence の \(d_2\) が決定できるようである。Baues と Jibladze の [BJ11] など。

Baues [Bau06] は, track category, つまり groupoid で enrich された category も用いているが, そこに登場する track category について, Baues と Frankland [BF20] が調べている。

別の系統の高次作用素として代表的なのは, Massey product である。

• Massey product

Toda bracket や Massey product を含めた高次作用素を統一的に扱おうという試みもある。例えば Blanc と Markl の [BM03], Baues と Muro の [BM11], Blanc と Johnson と Turner の [BJT10] などである。

References

[Bau06]

Hans-Joachim Baues. The algebra of secondary cohomology operations. Vol. 247. Progress in Mathematics. Basel: Birkhäuser Verlag, 2006, pp. xxxii+483. isbn: 3-7643-7448-9; 978-3-7643-7448-8.

[BF20]

Hans-Joachim Baues and Martin Frankland. “The DG-category of secondary cohomology operations”. In: Appl. Categ. Structures 28.6 (2020), pp. 877–905. arXiv: 1811.08077. url: https://doi.org/10.1007/s10485-020-09601-1.

[BJ11]

Hans-Joachim Baues and Mamuka Jibladze. “Dualization of the Hopf algebra of secondary cohomology operations and the Adams spectral sequence”. In: J. K-Theory 7.2 (2011), pp. 203–347. arXiv: 0809.2627. url: http://dx.doi.org/10.1017/is010010029jkt133.

[BJT10]

David Blanc, Mark W. Johnson, and James M. Turner. “Higher homotopy operations and cohomology”. In: J. K-Theory 5.1 (2010), pp. 167–200. arXiv: 0906.0012. url: http://dx.doi.org/10.1017/is010001011jkt099.

[BM03]

David Blanc and Martin Markl. “Higher homotopy operations”. In: Math. Z. 245.1 (2003), pp. 1–29. arXiv: math/0207082. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-003-0494-2.

[BM11]

Hans-Joachim Baues and Fernando Muro. “The algebra of secondary homotopy operations in ring spectra”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 102.4 (2011), pp. 637–696. arXiv: math/0610523. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/pdq034.

[Har02]

John R. Harper. Secondary cohomology operations. Vol. 49. Graduate Studies in Mathematics. Providence, RI: American Mathematical Society, 2002, p. xii 268. isbn: 0-8218-3198-4.

[Nas12]

Christian Nassau. “On the secondary Steenrod algebra”. In: New York J. Math. 18 (2012), pp. 679–705. arXiv: 1011.2471. url: http://nyjm.albany.edu:8000/j/2012/18_679.html.