複素向きづけを持つコホモロジー論

「複素向きづけ」とは変な用語であるが, 元の英語は complex oriented cohomology theory だから, 「複素向きづけ」と訳すしかないと思う。

積を持つコホモロジー論 \(E^*(-)\) は, \(\CP ^{\infty }\) の Atiyah-Hirzebruch spectral sequence が \(E^2\)-term で collapse するとき, つまり \(E^*(\CP ^{\infty })\) が次数 \(2\) の元 \(x\) により \[ E^*(\CP ^{\infty }) \cong E^*[[x]] \] と表わされるとき, complex oriented という。 生成元 \(x\) が complex orientation である。 そして, \(\CP ^{\infty }\) を \(BS^1\) とみなすと 位相群になるので, その積から誘導される写像 \[ E^*[[x]] \cong E^*(\CP ^{\infty }) \rarrow {} E^*(\CP ^{\infty }\times \CP ^{\infty }) \cong E^*[[x\otimes 1,1\otimes x]] \] により \(E^*\) 係数の \(1\)次元の可換な formal group law が定まる。

Quillen の結果 [Qui69] により, そのようなコホモロジー論の中で complex cobordism \(\mathrm {MU}\) が universal なものであることが分かっている。 つまり, \(E^*(-)\) が complex oriented なら, cohomology の multiplicative natural transformation \[ \mathrm {MU}^*(-) \rarrow {} E^*(-) \] がある。

• complex oriented cohomology theory の formal group law
• \(\mathrm {MU}\) の universality

勉強するなら, まずは Ravenel の本 [Rav03] を見るべきだろう。 歴史的なことについては Morava がまとめたもの [Mor] がある。

逆に, \(1\)次元の可換な formal group law が与えられたときに, そこから complex oriented cohomology theory を作ろうという試みも, 色々考えられている。例えば, Strickland の [Str03] など。古典的なテクニックは, Baas-Sullivan construction と Landweber exact functor theorem であるが。

• Baas-Sullivan construction
• Landweber exact functor theorem [Lan76]

有限体上の height \(n\) formal group law に対しては, functorial に ring spectrum を構成する いわゆる Hopkins-Miller theorem がある。文献としては, Rezk の [Rez98] だろうか。そして commutative ring spectrum を構成する Goerss と Hopkins の [GH04] がある。

Complex oriented cohomology (spectrum) の例としては, \(\mathrm {MU}\) 自身の他に, 以下のようなものがある。

• ordinary cohomology theory
• complex \(K\)-theory
• \(\mathrm {BP}\)
• \(P(n)\)
• \(E(n)\)
• Morava \(K\)-theory \(K(n)\) や \(E\)-theory (Lubin-Tate theory) \(E_n\)
• \(\mathrm {BP}\langle n\rangle \)

これらは, 安定ホモトピー論における chrmatic filtration を調べるのに中心的な役割を果す道具である。

• chromatic 現象を調べるための基本的な概念と道具

現在では, cohomology や stable homotopy category ではなく, spectrum そのもので議論したい。 そのような試みとして, Hopkins と Lawson の [HL18] がある。

Motivic homotopy theory での類似も存在し, algebraic cobordism と呼ばれている。

• algebraic cobordism

References

[GH04]

P. G. Goerss and M. J. Hopkins. “Moduli spaces of commutative ring spectra”. In: Structured ring spectra. Vol. 315. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 151–200. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511529955.009.

[HL18]

Michael J. Hopkins and Tyler Lawson. “Strictly commutative complex orientation theory”. In: Math. Z. 290.1-2 (2018), pp. 83–101. arXiv: 1603.00047. url: https://doi.org/10.1007/s00209-017-2009-6.

[Lan76]

Peter S. Landweber. “Homological properties of comodules over \(\mathrm {MU}_{*} (\mathrm {MU})\) and \(\mathrm {BP}_{*}({\mathrm {BP}})\)”. In: Amer. J. Math. 98.3 (1976), pp. 591–610. url: https://doi.org/10.2307/2373808.

[Mor]

Jack Morava. Complex cobordism and algebraic topology. arXiv: 0707.3216.

[Qui69]

Daniel Quillen. “On the formal group laws of unoriented and complex cobordism theory”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), pp. 1293–1298. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1969-12401-8.

[Rav03]

Douglas C. Ravenel. Complex Cobordism and Stable Homotopy Groups of Spheres. 2nd ed. American Mathematical Society, Nov. 2003. isbn: 9780821829677.

[Rez98]

Charles Rezk. “Notes on the Hopkins-Miller theorem”. In: Homotopy theory via algebraic geometry and group representations (Evanston, IL, 1997). Vol. 220. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1998, pp. 313–366. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/220/03107.

[Str03]

N. P. Strickland. “Realising formal groups”. In: Algebr. Geom. Topol. 3 (2003), 187–205 (electronic). arXiv: math/0211085. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2003.3.187.