C∗-algebra などの K-theory の spectrum model

位相空間の \(K\)-theory や algebraic \(K\)-theory は, 安定ホモトピー論の意味での spectrum のホモトピー群やホモトピー集合として表すことができる。

\(C^{*}\)-algebra などの \(K\)-theory についても, spectrum level での構成は, ある。最近の survey としては Bunke, Land, Penning の [BLP] があるので, まずはこれを見てみるのが良いかもしれない。

Bunke と Joachim と Stolz の [BJS03] では, \(C^*\)-algebra に対し, orthogonal spectrum \(K(A)\) が構成されている。しかしながら, Dell’Ambrogio らの [Del+] によると, その構成は essential \(*\)-homomorphism に対してしか functorial ではないらしい。 その Bunke, Joachim, Stolz の構成の functoriality の欠点を改良したものとして, Dell’Ambrogio らの symmetric spectrumとしての構成 [Del+] がある。 他にも, Joachim と Stolz の [JS09] があるが, Dell’Ambrogio らの [Del+] によると, 間違いがあるらしい。

Mitchener の \(C^{*}\)-category の \(K\)-theory に関する [Mit01] や \(KK\)-theory に関する [Mit02] も symmetric spectrum を用いているが, 不思議なことに, Dell’Ambrogio らの論文では, 触れられていない。

References

[BJS03]

Ulrich Bunke, Michael Joachim, and Stephan Stolz. “Classifying spaces and spectra representing the \(K\)-theory of a graded \(C^{*}\)-algebra”. In: High-dimensional manifold topology. World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2003, pp. 80–102. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789812704443_0003.

[BLP]

Ulrich Bunke, Markus Land, and Ulrich Pennig. A survey on operator \(K\)-theory via homotopical algebra. arXiv: 2311.17191.

[Del+]

Ivo Dell’Ambrogio, Heath Emerson, Tamaz Kandelaki, and Ralf Meyer. A functorial equivariant \(K\)-theory spectrum and an equivariant Lefschetz formula. arXiv: 1104.3441.

[JS09]

Michael Joachim and Stephan Stolz. “An enrichment of \(KK\)-theory over the category of symmetric spectra”. In: Münster J. Math. 2 (2009), pp. 143–182.

[Mit01]

Paul D. Mitchener. “Symmetric \(K\)-theory spectra of \(C^\star \)-categories”. In: \(K\)-Theory 24.2 (2001), pp. 157–201. url: https://doi.org/10.1023/A:1012773111555.

[Mit02]

Paul D. Mitchener. “\(KK\)-theory of \(C^{*}\)-categories and the analytic assembly map”. In: \(K\)-Theory 26.4 (2002), pp. 307–344. arXiv: math/0202037. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1020623132356.