Equivariant (Co)homology of Manifolds

群作用を持つ空間の (co)homology, つまり equivariant (co)homology で, 最も良く調べられているのは, 代数多様体も含めた多様体の場合だろう。

可微分多様体については, de Rham 理論の拡張がある。

• equivariant de Rham cohomology

代数多様体については, Goresky と Kottwitz と MacPherson の [GKM98] の結果が有名である。もちろん, それは ordinary cohomology に関する結果であるし, 作用する群も complex torus であった。その一般化が Harada と Henriques と Holm [HHH05] により与えられている。Cohomology theory も generalized cohomology になっているし, 群も一般の位相群である。更に, 空間も stratified space である。彼等の target は Kac-Moody flag variety であるが。

Kac-Moody あるいは affine flag variety には何通りかの定義があるようで, Kashiwara と Shimozono [KS09] で調べられているのは, Kashiwara [Kas89] で定義されたものである。彼等は, その equivariant \(K\)-theory を調べている。

Goresky-Kottwitz-MacPherson のアプローチに基づいた equivariant (co)homology の解説を Tymoczko [Tym] が書いている。 また, この手の話題に関する Localization Techniques in Equivariant Cohomology という Wiki もできたようである。 Schubert calculus について何がどこまで知られているか, やopen problemの list がある。

\(\Z _2\)-action を持つ空間の (co)homology の構造について, Hausmann と Holm と Puppe が [HHP05] で詳しく調べている。\(\Z _2\)-action を持つ空間とし てすぐ思い浮かぶのは, 複素共役という作用を持つ複素多様体である。 例えば, 複素 Grassmann多様体の複素共役による \(\Z _2\)-action による fixed point set は, 実Grassmann多様体であるが, その \(\F _2\)係数 cohomology は, 元になった複素 Grassmann多様体の \(\F _2\)係数 cohomology の「半分」になっている。 彼等はこのような状況が成り立つ \(\Z _2\) 空間を conjugationn space と呼び, 詳しく調べている。

• conjugation space

対称群の作用を持つ空間については, alternating homology という homology が定義される。Houston の “image computing spectral sequence” に関する解説 [Hou99] を見るとよい。

• alternating homology

多様体の (co)homology と言えば Poincaré duality であるが, それについては, Costenoble と Waner の [CW] がある。

Lie群が作用するときは, その maximal torus に関する情報とWeyl群に関する情報に分けられるとうれしい。実際, 一点の Borel equivariant cohomology, つまり \(BG\) の cohomology については, \(\Q \) 係数の場合にはよく知られている結果がある。それを Borel equivariant cohomology に拡張した結果も成り立つ。 それを一般の係数で考えたのが, Holm と Sjamaar の [HS] である。そこでは, Grothendieck の torision index や Demazure [Dem73; Dem74] と Bernstein-Gel’fand-Gel’fand [BGG73] の divided difference operator が使われていて興味深い。Grothendieck の torsion index については, Totaro の [Tot05b; Tot05a] で調べられている。

群が無限次元のときはどうすればよいのだろうか。Kichloo の試み [Kit09] が参考になるかもしれない。

References

[BGG73]

I. N. Bernšteı̆n, I. M. Gel\('\)fand, and S. I. Gel\('\)fand. “Schubert cells, and the cohomology of the spaces \(G/P\)”. In: Uspehi Mat. Nauk 28.3(171) (1973), pp. 3–26.

[CW]

Steven R. Costenoble and Stefan Waner. Equivariant ordinary homology and cohomology. arXiv: math/0310237.

[Dem73]

Michel Demazure. “Invariants symétriques entiers des groupes de Weyl et torsion”. In: Invent. Math. 21 (1973), pp. 287–301.

[Dem74]

Michel Demazure. “Désingularisation des variétés de Schubert généralisées”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 7 (1974). Collection of articles dedicated to Henri Cartan on the occasion of his 70th birthday, I, pp. 53–88. url: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1974_4_7_1_53_0.

[GKM98]

Mark Goresky, Robert Kottwitz, and Robert MacPherson. “Equivariant cohomology, Koszul duality, and the localization theorem”. In: Invent. Math. 131.1 (1998), pp. 25–83. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050197.

[HHH05]

Megumi Harada, André Henriques, and Tara S. Holm. “Computation of generalized equivariant cohomologies of Kac-Moody flag varieties”. In: Adv. Math. 197.1 (2005), pp. 198–221. arXiv: math/0409305. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.10.003.

[HHP05]

Jean-Claude Hausmann, Tara Holm, and Volker Puppe. “Conjugation spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 5 (2005), 923–964 (electronic). arXiv: math/0412057. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2005.5.923.

[Hou99]

Kevin Houston. “An introduction to the image computing spectral sequence”. In: Singularity theory (Liverpool, 1996). Vol. 263. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999, pp. xxi–xxii, 305–324.

[HS]

Tara Holm and Reyer Sjamaar. Torsion and abelianization in equivariant cohomology. arXiv: math/0607069.

[Kas89]

M. Kashiwara. “The flag manifold of Kac-Moody Lie algebra”. In: Algebraic analysis, geometry, and number theory (Baltimore, MD, 1988). Baltimore, MD: Johns Hopkins Univ. Press, 1989, pp. 161–190.

[Kit09]

Nitu Kitchloo. “Dominant \(K\)-theory and integrable highest weight representations of Kac-Moody groups”. In: Adv. Math. 221.4 (2009), pp. 1191–1226. arXiv: 0710.0167. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.02.006.

[KS09]

Masaki Kashiwara and Mark Shimozono. “Equivariant \(K\)-theory of affine flag manifolds and affine Grothendieck polynomials”. In: Duke Math. J. 148.3 (2009), pp. 501–538. arXiv: math/0601563. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-2009-032.

[Tot05a]

Burt Totaro. “The torsion index of \(E_8\) and other groups”. In: Duke Math. J. 129.2 (2005), pp. 219–248. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-05-12922-2.

[Tot05b]

Burt Totaro. “The torsion index of the spin groups”. In: Duke Math. J. 129.2 (2005), pp. 249–290. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-05-12923-4.

[Tym]

Julianna S. Tymoczko. An introduction to equivariant cohomology and homology, following Goresky, Kottwitz, and MacPherson. arXiv: math/0503369.