写像に対するスペクトル系列

連続写像 \(f : X \to Y\) により, \(X\) のコホモロジーと \(Y\) のコホモロジーを関連づけようというのが, 元々 Leray が スペクトル系列を導入した動機である。

• Leray-Serre spectral sequence

もちろん, Eilenberg-Moore spectral sequence も写像に対するスペクトル系列と思ってもよい。

• geometric bar construction による Eilenberg-Moore spectral sequence
• geometric cobar construction による Eilenberg-Moore spectral sequence

他にも連続写像に対し定義されるスペクトル系列はいくつかある。例えば, \(Y\) の各点の逆像が有限個の点の場合には, “image computing spectral sequence”という \(f(X)\) のホモロジーを計算するスペクトル系列が構成できる。 Goryunov と Mond により[GM93] で構成された。

• image computing spectral sequence

解説としては, K. Houston の [Hou99] がある。また Houston は [Hou07] という一般化も考えている。それによると, アイデアは Vassiliev の構成 [Vas92] が元になっているようにもとれる。

Image computing spectral sequence の \(E^1\)項は multiple point set の alternating homology で記述される。

References

[GM93]

Victor Goryunov and David Mond. “Vanishing cohomology of singularities of mappings”. In: Compositio Math. 89.1 (1993), pp. 45–80. url: http://www.numdam.org/item?id=CM_1993__89_1_45_0.

[Hou07]

Kevin Houston. “A general image computing spectral sequence”. In: Singularity theory. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2007, pp. 651–675. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789812707499_0027.

[Hou99]

Kevin Houston. “An introduction to the image computing spectral sequence”. In: Singularity theory (Liverpool, 1996). Vol. 263. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999, pp. xxi–xxii, 305–324.

[Vas92]

V. A. Vassiliev. Complements of discriminants of smooth maps: topology and applications. Vol. 98. Translations of Mathematical Monographs. Translated from the Russian by B. Goldfarb. Providence, RI: American Mathematical Society, 1992, pp. vi+208. isbn: 0-8218-4555-1.