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どの小行列式も正になるような実係数行列は totally positive と呼ばれる。
Fomin [Fom10] によると total positivity は次のようなことと関係があるようである:
- classical mechanics,
-
probability,
- discrete potential theory,
- asymptotic representation theory,
- algebraic and enumerative combinatorics,
- linear algebra and its applications.
Kodama と Williams [KW11; KW14] によると, KP equation とも関係がある。
Lusztig [Lus94] は, 古典的な行列の total positivity を real reductive group の totally
positive part に一般化した。Lusztig による total positivity の解説 [Lus98; Lus08] もある。
- tatally nonnetative Grassmannian
- totally nonnegative flag variety
それらの cell 分割については, Fomin と Zelevinsky [FZ99] や Rietsch [Rie99] などにより研究されている。
Grassmannian の場合には, Postnikov が [Pos] で 組み合せ論的に色々しらべている。
Williams [Wil07] は totally nonnegative flag variety は regular CW complex
であることを予想している。 Postnikov は [Pos] の Introduction で Grassmannian の場合は closed ball
と同相な regular CW complex の構造を持つことを予想している。
Rietsch と Williams [RW10] は, discrete Morse theory を用いて一般の flag variety で cell の
closure が collapsible であることを示している。
Grassmannian の場合の cell 分解が CW 複体であることは, Postnikov, Speyer, Williams [PSW09]
が証明している。 Galashin, Karp, Lam [GKL22] は, totally nonnegative Grassmannian が
closed ball と同相であることを証明した, と主張している。
Galashin らは, cyclically symmetric amplituhedron も closed ball と同相であることを証明している。
Amplituhedron は, Arkani-Hamed と Trnka が [AT14b; AT14a] で totally nonnegative
Grassmannian の Grassmann 多様体の間のある線型写像による像として定義したものである。
B. Keller [Kel11] と Fomin [Fom10] によると, Fomin と Zelevinsky が cluster algebra
を考えた目的の一つは, total positivity に対する組み合せ論的なアプローチを見付けることだったようである。
References
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