Model Categories of Presheaves and Sheaves

Grothendieck site 上の 層や前層の成す圏のモデル構造は, まず Morel と Voevodsky [MV99] の motivic homotopy theory の基礎として重要である。 そこで用いられているのは, simplicial (pre)sheaf, つまり simplicial set の圏に値を持つものであるが。

• site 上の simplicial (pre)sheaf の圏のモデル構造 (Jardine の[Jar87; Jar96])

この Jardine の site 上の simplicial (pre)sheaf のモデル構造は, simplicial set の category の model structure と Grothendieck topology の情報を組み合せて得られていると考えることができる。

もちろん, 前層は単なる contravariant functorのことだから, model category に値持つ small category からの functor の成す圏に一般的に定義される model structure もある。

• projective model structure
• injective model structure

その際には, Grothendieck topology は使わない。 Jardine の simplicial presheaf の圏のモデル構造では, Grothendieck topology の情報が weak equivalence として取り入れられている。 結果的に, simplicial presheaf の categry と simplicial sheaf の category が homotopy categry まで落すと同値になってしまう。 つまり, model category を用いると sheaf が不要になってしまうということで, 面白い model category の応用だと思う。

このプロセスを一般化したのが, Beke の [Bek00] である。

Voevodsky の motivic homotopy theory に関する lecture note [VRØ07] の冒頭で, motivic homotopy theory のための model structure の選択肢として, 次を挙げている:

• Blander [Bla01]
• Dugger [Dug01]
• Dugger, Hollander, Isaksen [DHI04]
• Dundas, Röndigs, Østvær [DRØ03]
• Isaksen [Isa05]
• Jardine [Jar06]
• Voevodsky [Voe10]

Dugger, Hollander, Isaksen のものと同じ model structure は, 独立に Hinich [Hin05] によっても発見されている。

他にも次のようなものがある。

• Grothendieck topos 上の環の層の上の module の presheaf の chain complex の圏の上の tensor model structure [Fau]
• quasi-compact や semi-separated scheme 上の quasi-coherent sheaf の chain complex の圏 [Gil]
• \(\Gamma \)-space の presheaf の圏 [Ber09]
• smooth affine algebraic variety \(X\) 上の sheaf of differential operators \(\mathcal {D}_{X}\) 上の differential non-negatively graded quasicoherent commutative algebra の圏 [BPP]
• small simplicial category から simplicial set の category への simplicial functor の圏の model structure [Mos19]

References

[Bek00]

Tibor Beke. “Sheafifiable homotopy model categories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 129.3 (2000), pp. 447–475. arXiv: math/0102087. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100004722.

[Ber09]

Håkon Schad Bergsaker. “Homotopy theory of presheaves of \(\Gamma \)-spaces”. In: Homology, Homotopy Appl. 11.1 (2009), pp. 35–60. arXiv: 0805. 1529. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251832559.

[Bla01]

Benjamin A. Blander. “Local projective model structures on simplicial presheaves”. In: \(K\)-Theory 24.3 (2001), pp. 283–301. url: https://doi.org/10.1023/A:1013302313123.

[BPP]

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[DHI04]

Daniel Dugger, Sharon Hollander, and Daniel C. Isaksen. “Hypercovers and simplicial presheaves”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 136.1 (2004), pp. 9–51. arXiv: math/0205027. url: https://doi.org/10.1017/S0305004103007175.

[DRØ03]

Bjørn Ian Dundas, Oliver Röndigs, and Paul Arne Østvær. “Motivic functors”. In: Doc. Math. 8 (2003), pp. 489–525.

[Dug01]

Daniel Dugger. “Universal homotopy theories”. In: Adv. Math. 164.1 (2001), pp. 144–176. arXiv: math / 0007070. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.2014.

[Fau]

H. Fausk. T-model structures on chain complexes of presheaves. arXiv: math/0612414.

[Gil]

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[Isa05]

Daniel C. Isaksen. “Flasque model structures for simplicial presheaves”. In: \(K\)-Theory 36.3-4 (2005), 371–395 (2006). arXiv: math/ 0401132. url: https://doi.org/10.1007/s10977-006-7113-z.

[Jar06]

J. F. Jardine. “Intermediate model structures for simplicial presheaves”. In: Canad. Math. Bull. 49.3 (2006), pp. 407–413. url: https://doi.org/10.4153/CMB-2006-040-8.

[Jar87]

J. F. Jardine. “Simplicial presheaves”. In: J. Pure Appl. Algebra 47.1 (1987), pp. 35–87. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90100-9.

[Jar96]

J. F. Jardine. “Boolean localization, in practice”. In: Doc. Math. 1 (1996), No. 13, 245–275 (electronic).

[Mos19]

Lyne Moser. “Injective and projective model structures on enriched diagram categories”. In: Homology Homotopy Appl. 21.2 (2019), pp. 279–300. arXiv: 1710.11388. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2019.v21.n2.a15.

[MV99]

Fabien Morel and Vladimir Voevodsky. “\(\mathbf {A}^1\)-homotopy theory of schemes”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 90 (1999), 45–143 (2001). url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1999__90__45_0.

[Voe10]

Vladimir Voevodsky. “Homotopy theory of simplicial sheaves in completely decomposable topologies”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.8 (2010), pp. 1384–1398. arXiv: 0805 . 4578. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.11.004.

[VRØ07]

Vladimir Voevodsky, Oliver Röndigs, and Paul Arne Østvær. “Voevodsky’s Nordfjordeid lectures: motivic homotopy theory”. In: Motivic homotopy theory. Universitext. Springer, Berlin, 2007, pp. 147–221. url: https://doi.org/10.1007/978-3-540-45897-5_7.