Tambara Functors

Tambara functor は, Tambara が [Tam93] で multiplicative transfer を調べるために導入した。 その論文での名前は, TNR-functor であるが, 今では, Tambara functor と呼ばれている。

解説としては, まず Strickland の [Str] がある。

Mackey functor を multiplicative にしたものが Green functor であるが, Tambara functor は, 更に Evens norm map の類似を持つ。 なので, まずは Mackey functor のことを理解した方がいいと思う。 実際, Strickland の解説は, Mackey functor や Green functor も含んでいる。

この MathOverflow の質問に対する, Tyler Lawson の回答によると, Tambaraと同様のことは, 1980年に既に Lewis により考えられていたようであるが。

最近では, Tambara functor については, Nakaoka が一連の論文 [Nak11; Nak13; Nak12a; Nak12b; Nak14a; Nak14b] で色々調べている。

代数的トポロジーでは, 当然 equivariant stable homotopy theory で使われる。

Brun [Bru07] と Strickland [Str] は, 有限群の作用を持つ \(E_{\infty }\)-ring spectrum の \(\pi _{0}\) は Tambara functor になることを示している。 Ullman [Ull] は, 逆に, どんな Tambara functor もそのようにして得られることを示している。

となると, 自然な疑問は, そのような ring spectrum の higher homotopy group はどのような代数的構造を持つか, であるが, それを記述するために, Angeltveit と Bohmann [AB18] は \(\mathcal {RO}(G)\)-graded Tambara functor というものを導入している。ここで, \(\mathcal {RO}(G)\) は \(G\) のreal representation ring に関連した finite \(G\)-set の圏の上の functor である。

このような Tambara functor は, 群から作られるある small category 上の functor であるが, Bachmann [Bac18] は scheme \(S\) 上の finite étale morphism の成す category 上の functor に対し, Tambara functor という言葉を使っている。そして Grothendieck-Witt ring がその意味の Tambara functor になっていることを示している。 より一般の motivic homotopy theory の文脈での設定は, [Bac21] で考えられている。

References

[AB18]

Vigleik Angeltveit and Anna Marie Bohmann. “Graded Tambara functors”. In: J. Pure Appl. Algebra 222.12 (2018), pp. 4126–4150. arXiv: 1504.00668. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2018.02.023.

[Bac18]

Tom Bachmann. “Some remarks on units in Grothendieck-Witt rings”. In: J. Algebra 499 (2018), pp. 229–271. arXiv: 1612.04728. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2017.12.004.

[Bac21]

Tom Bachmann. “Motivic Tambara functors”. In: Math. Z. 297.3-4 (2021), pp. 1825–1852. arXiv: 1807 . 02981. url: https://doi.org/10.1007/s00209-020-02581-x.

[Bru07]

M. Brun. “Witt vectors and equivariant ring spectra applied to cobordism”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 94.2 (2007), pp. 351–385. arXiv: math/0411567. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/pdl010.

[Nak11]

Hiroyuki Nakaoka. “Tambarization of a Mackey functor and its application to the Witt-Burnside construction”. In: Adv. Math. 227.5 (2011), pp. 2107–2143. arXiv: 1010 . 0812. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.04.015.

[Nak12a]

Hiroyuki Nakaoka. “Ideals of Tambara functors”. In: Adv. Math. 230.4-6 (2012), pp. 2295–2331. arXiv: 1101 . 5982. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2012.04.021.

[Nak12b]

Hiroyuki Nakaoka. “On the fractions of semi-Mackey and Tambara functors”. In: J. Algebra 352 (2012), pp. 79–103. arXiv: 1103.3991. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.11.013.

[Nak13]

Hiroyuki Nakaoka. “A generalization of the Dress construction for a Tambara functor, and its relation to polynomial Tambara functors”. In: Adv. Math. 235 (2013), pp. 237–260. arXiv: 1012.1911. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.11.013.

[Nak14a]

Hiroyuki Nakaoka. “Biset transformations of Tambara functors”. In: J. Algebra 399 (2014), pp. 904–926. arXiv: 1105.0714. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2013.10.016.

[Nak14b]

Hiroyuki Nakaoka. “The spectrum of the Burnside Tambara functor on a finite cyclic \(p\)-group”. In: J. Algebra 398 (2014), pp. 21–54. arXiv: 1301.1453. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2013.09.010.

[Str]

Neil Strickland. Tambara functors. arXiv: 1205.2516.

[Tam93]

D. Tambara. “On multiplicative transfer”. In: Comm. Algebra 21.4 (1993), pp. 1393–1420. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879308824627.

[Ull]

John Ullman. Tambara Functors and Commutative Ring Spectra. arXiv: 1304.4912.