Stiefel多様体

Stiefel 多様体 \(V_{n,k}\) は, \(n\) 次元内積空間の中の \(k\) 個のベクトルから成る正規直交系の成す空間として定義される。 実数や複素数上では, 同一視 \[ \begin {split} V_{n,k}(\R ) & = O(n)/O(n-k) \\ V_{n,k}(\bbC ) & = U(n)/U(n-k) \end {split} \] により多様体の構造を入れることができる。 四元数体 \(\Ha \) 上でも定義できるが, この流れで八元数体 \(\mathbb {O}\) 上の Stiefel 多様体を定義することはできない。\(\mathbb {O}\) は環ではないので, その上のベクトル空間 (加群) を定義することはできないからである。

ただ, \(\mathbb {O}\) の直積として「自由加群」を定義することはできる。 それを用いて James が [Jam58] で八元数体上の Stiefel 多様体を定義し調べていることは, Qian, Tang, Yan の [QTY] で知った。

• 八元数体上の Stiefel 多様体

八元数体上の Stiefel 多様体は, あまり調べられていないようであるが, 実数体, 複素数体, 四元数体上の Stiefel 多様体の (ホモトピー論的な) 性質については, まずは James の本 [Jam76] がある。より基本的なことについては, [小中菅67] の第1章§2や第2章§2を見るとよい。

安定ホモトピー型は, 安定ホモトピー分解により得られている。

• Stiefel 多様体の安定ホモトピー分解
• Stiefel 多様体のループ空間の安定ホモトピー分解

Stiefel 多様体の安定ホモトピー分解は, H. Miller [Mil85] が証明した。まずは, Crabb による解説 [Cra87] を読むのがよいだろう。Ullman の thesis [Ull] の Appendix にも証明がある。

その global equivariant homotopy theory の視点からの精密化を Schwede [Sch22] が得ている。

Stiefel 多様体のループ空間の安定ホモトピー分解の証明は, Arone [Aro01] が orthogonal calculus を用いて行なった。

Stiefel 多様体を linear isometry のなす空間とみなすと, orthogonal calculus の基本となるのは当然であるが, グラフの Hom complex として現れる [Sch08] のは驚きである。

References

[Aro01]

Greg Arone. “The Mitchell-Richter filtration of loops on Stiefel manifolds stably splits”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 129.4 (2001), 1207–1211 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-00-05794-4.

[Cra87]

M. C. Crabb. “On the stable splitting of \(\mathrm {U}(n)\) and \(\Omega \mathrm {U}(n)\)”. In: Algebraic topology, Barcelona, 1986. Vol. 1298. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1987, pp. 35–53. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0082999.

[Jam58]

I. M. James. “Cross-sections of Stiefel manifolds”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 8 (1958), pp. 536–547. url: https://doi.org/10.1112/plms/s3-8.4.536.

[Jam76]

I. M. James. The topology of Stiefel manifolds. London Mathematical Society Lecture Note Series, No. 24. Cambridge: Cambridge University Press, 1976, pp. viii+168.

[Mil85]

Haynes Miller. “Stable splittings of Stiefel manifolds”. In: Topology 24.4 (1985), pp. 411–419. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(85)90012-6.

[QTY]

Chao Qian, Zizhou Tang, and Wenjiao Yan. On two questions of James. arXiv: 2202.03729.

[Sch08]

Carsten Schultz. “Small models of graph colouring manifolds and the Stiefel manifolds \(\Hom (C_5,K_n)\)”. In: J. Combin. Theory Ser. A 115.1 (2008), pp. 84–104. arXiv: math/0510535. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jcta.2007.04.004.

[Sch22]

Stefan Schwede. “Global stable splittings of Stiefel manifolds”. In: Doc. Math. 27 (2022), pp. 789–845. arXiv: 2106.02379.

[Ull]

Harry Ullman. The equivariant stable homotopy theory around isometric linear maps. arXiv: 1101.2142.

[小中菅67]

小松醇郎, 中岡稔, and 菅原正博. 位相幾何学 I. 東京: 岩波書店, 1967.