Grothendieck topology は, 元々 代数幾何学の文脈で導入されたものであり, 代数幾何学で最もよく使われている,
ように思う。 次は, [GK15] で挙げられている Grothendieck topology の例である。
- Zariski
- Nisnevich
- étale
- canonical
- fpqc
- fppf
- closed
- cdf
- finite
- qfh
- rh
- cdh
- ldh
- eh
- h
最近でも, pro-étale topology [Sch13; BS15], arc topology [BM21], cdarc topology
[Elm+21] など新しい Grothendieck topology が導入されている。
- pro-étale topology
- arc topology
- cdarc topology
このような Grothendieck topology の意味については, 疑問に思う人が多いようで, MathOverflow
でいくつかの質問が出ている。 この質問では, fppf や fpqc やその他の topology の目的について聞かれてる。 Tyler Lawson
がトポロジーとの比較で回答していて, 分かりやすい。
Étale topology などの重要な Grothendieck topology は, unique factorization system
から生成することができることを, Anel [Ane] が示している。
References
-
[Ane]
-
Mathieu Anel. Grothendieck topologies from unique factorisation
systems. arXiv: 0902.1130.
-
[BM21]
-
Bhargav Bhatt and Akhil Mathew. “The arc-topology”. In: Duke
Math. J. 170.9 (2021), pp. 1899–1988. arXiv: 1807.04725. url:
https://doi.org/10.1215/00127094-2020-0088.
-
[BS15]
-
Bhargav Bhatt and Peter Scholze. “The pro-étale topology for
schemes”. In: Astérisque 369 (2015), pp. 99–201. arXiv: 1309.1198.
-
[Elm+21]
-
Elden Elmanto, Marc Hoyois, Ryomei Iwasa, and Shane Kelly.
“Cdh descent, cdarc descent, and Milnor excision”. In: Math.
Ann. 379.3-4 (2021), pp. 1011–1045. arXiv: 2002.11647. url:
https://doi.org/10.1007/s00208-020-02083-5.
-
[GK15]
-
Ofer Gabber and Shane Kelly. “Points in algebraic geometry”. In: J.
Pure Appl. Algebra 219.10 (2015), pp. 4667–4680. arXiv: 1407.5782.
url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2015.03.001.
-
[Sch13]
-
Peter Scholze. “\(p\)-adic Hodge theory for rigid-analytic varieties”.
In: Forum Math. Pi 1 (2013), e1, 77. arXiv: 1205.3463. url:
https://doi.org/10.1017/fmp.2013.1.
|