Nisnevich Topology and Nisnevich Site

Nisnevich [Nis89] は, smooth scheme の category に 新しい Grothendieck topology を定義した。 Zariski topology より強く étale topology より弱いものである。 Nisnevich topology は Voevodsky の motivic homotopy theory で基礎となるものである。

Nisnevich topology の定義にはいくつかあり, Morel と Voevodsky の [MV99] では, §3.1 の Proposition 1.4 として, 四角の図式を用いた特徴付けが与えられている。Nisnevich sheaf の特徴付けであるが。その図式に関する条件は, Voevodsky の [Voe10] では, cd-structure と呼ばれている。

Hoyois の [Hoy14] の Appendix C では, Noether 性の仮定を取り除くために, その cd-structure と Zariski topology を組合せたものを使うことを提案している。 他にも, Lurie が spectral algebraic geometry の文脈で [Lur] の Part I§3.7 や Appendix B.4 で定義しているものがある。

他にも様々な条件があるが, それらの比較が, Bachmann と Hoyois の [BH21] の Appendix A で行なわれている。 Proposition A.2 として, どのような場合にどの条件が一致するかがまとめられている。

References

[BH21]

Tom Bachmann and Marc Hoyois. “Norms in motivic homotopy theory”. In: Astérisque 425 (2021), p. 207. arXiv: 1711.03061. url: https://doi.org/10.24033/ast.

[Hoy14]

Marc Hoyois. “A quadratic refinement of the Grothendieck-Lefschetz-Verdier trace formula”. In: Algebr. Geom. Topol. 14.6 (2014), pp. 3603–3658. arXiv: 1309.6147. url: https://doi.org/10.2140/agt.2014.14.3603.

[Lur]

Jacob Lurie. Spectral Algebraic Geometry. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/SAG-rootfile.pdf.

[MV99]

Fabien Morel and Vladimir Voevodsky. “\(\mathbf {A}^1\)-homotopy theory of schemes”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 90 (1999), 45–143 (2001). url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1999__90__45_0.

[Nis89]

Ye. A. Nisnevich. “The completely decomposed topology on schemes and associated descent spectral sequences in algebraic \(K\)-theory”. In: Algebraic \(K\)-theory: connections with geometry and topology (Lake Louise, AB, 1987). Vol. 279. NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1989, pp. 241–342.

[Voe10]

Vladimir Voevodsky. “Homotopy theory of simplicial sheaves in completely decomposable topologies”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.8 (2010), pp. 1384–1398. arXiv: 0805 . 4578. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.11.004.