Galois Category and Etale Fundamental Group

Galois category の理論は, Grothendieck により [SGA171] で導入された。 基本群と被覆空間の関係を scheme に拡張することに成功し, étale fundamental group が導入された。

• étale fundamental group

原論文より, まず Lenstra の lecture note [Len08] を見るのがよいと思う。 Tao は blog post [New] で Szamuely の本 [Sza09] を参照している。 Dubuc と de la Vega の解説 [DV00] もある。

当然ではあるが, 位相空間に対し, scheme の場合を真似て étale fundamental group を定義することもできる。 Kucharczy と Scholze の [KS18] など。 位相空間の基本群, 位相空間の étale fundamental group, scheme の étale fundamental group の比較もされている。

• 位相空間の étale fundamental group

Corry [Cor12] は, グラフの étale fundamental group を考えている。

• グラフの étale fundamental group

Sánchez González と Tejero Prieto [GP] は, Galois category になっている schematic finite space の finite étale cover の cateogry を定義し, それを用いて schematic finite space の étale fundamental group を定義している。

References

[Cor12]

Scott Corry. “Harmonic Galois theory for finite graphs”. In: Galois-Teichmüller theory and arithmetic geometry. Vol. 63. Adv. Stud. Pure Math. Math. Soc. Japan, Tokyo, 2012, pp. 121–140. arXiv: 1103.1648. url: https://doi.org/10.2969/aspm/06310121.

[DV00]

Eduardo J. Dubuc and Constanza S. de la Vega. “On the Galois theory of Grothendieck”. In: Bol. Acad. Nac. Cienc. (Córdoba) 65 (2000). Colloquium on Homology and Representation Theory (Spanish) (Vaquerı́as, 1998), pp. 111–136. arXiv: math/0009145.

[GP]

J. Sánchez González and C. Tejero Prieto. Étale Covers and Fundamental Groups of Schematic Finite Spaces. arXiv: 2105. 01947.

[KS18]

Robert A. Kucharczyk and Peter Scholze. “Topological realisations of absolute Galois groups”. In: Cohomology of arithmetic groups. Vol. 245. Springer Proc. Math. Stat. Springer, Cham, 2018, pp. 201–288. arXiv: 1609.04717. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-95549-0_8.

[Len08]

Hendrik W. Lenstra. Galois theory for schemes. 2008. url: http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/GSchemes.pdf.

[New]

What’s New. van Kampen’s theorem via covering spaces. url: http://terrytao.wordpress.com/2012/10/28/van-kampens-theorem-via-covering-spaces/.

[SGA171]

A. Grothendieck. Revêtements étales et groupe fondamental. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1960–1961 (SGA 1), Dirigé par Alexandre Grothendieck. Augmenté de deux exposés de M. Raynaud, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 224. Berlin: Springer-Verlag, 1971, pp. xxii+447.

[Sza09]

Tamás Szamuely. Galois groups and fundamental groups. Vol. 117. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 2009, pp. x+270. isbn: 978-0-521-88850-9. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511627064.