Etale Fundamental Group

Étale homotopy type について, よく調べられているのは 基本群, つまり étale fundamental group である。 もっとも, Artin-Mazur の pro-simplicial set の文脈ではなく, Galois category の理論を用いて定義されるものであるが。

Szamuely の本 [Sza09], Murre の lecture note [Mur67], Morishita の本 [Mor12] などがある。

誰でも思うのとは, 位相空間の基本群の性質がどの程度成り立つか, ということだと思うが, 例えば, Misamore [Mis11] によると étale fundamental group の van Kampen theorem については, Stix の [Sti06] や Zoonekynd の [Zoo02] があるようである。Misamore 自身の結果はそれらの改良版になっているようである。

コンパクト Kähler 多様体の場合に, Higgs bundle と 局所系の対応を用いて基本群に Hodge structure を定義しているのは, C. Simpson [Sim92] であるが, それを pro-algebraic homotopy type に一般化しているのは Pridham の [Pri] である。

Bhatt と Scholze [BS15] は pro-étale topology を導入し, それにより pro-étale fundamental group を定義している。

• pro-étale fundamental group

Projective variety の基本群としてどのような群が実現できるか, という問題については, Arapura の [Ara95] にまとめられている。 Étale fundamental group として実現できない群の例として, Pridham の [Pri09] にあるものがある。

代数多様体や scheme に関した群なので, group scheme として実現できないか, と考えたくなるが, Mondal と Reinecke [MR] によると, それは既に Grothendieck が考え (予想し) ていたことのようであり, Nori [Nor76] により構成が得られている。

また Artin-Mazur の étale homotopy type を使えば, 高次の étale homotopy group を定義することはできるが, Mondal と Reinecke によると, それを group scheme として実現するのは難しいようである。その代わりに, 彼等は unipotent homotopy group scheme を導入している。

• unipotent group scheme

逆に, 位相空間に対し étale fundamental group の定義を真似して profinite group を定義することもできる。 Kucharczyk と Scholze の [KS18] で調べられている。

Corry [Cor12] は, グラフの étale fundamental group を考えている。

• グラフの étale fundamental group

References

[Ara95]

Donu Arapura. “Fundamental groups of smooth projective varieties”. In: Current topics in complex algebraic geometry (Berkeley, CA, 1992/93). Vol. 28. Math. Sci. Res. Inst. Publ. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995, pp. 1–16.

[BS15]

Bhargav Bhatt and Peter Scholze. “The pro-étale topology for schemes”. In: Astérisque 369 (2015), pp. 99–201. arXiv: 1309.1198.

[Cor12]

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[KS18]

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[Mis11]

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[Mor12]

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[MR]

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[Mur67]

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[Nor76]

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[Pri]

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[Pri09]

J. P. Pridham. “Weight decompositions on étale fundamental groups”. In: Amer. J. Math. 131.3 (2009), pp. 869–891. arXiv: math/0510245. url: http://dx.doi.org/10.1353/ajm.0.0055.

[Sim92]

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[Sti06]

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[Sza09]

Tamás Szamuely. Galois groups and fundamental groups. Vol. 117. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 2009, pp. x+270. isbn: 978-0-521-88850-9. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511627064.

[Zoo02]

Vincent Zoonekynd. “Théorème de van Kampen pour les champs algébriques”. In: Ann. Math. Blaise Pascal 9.1 (2002), pp. 101–145. arXiv: math/0111073. url: http://www.numdam.org/item?id=AMBP_2002__9_1_101_0.