Cayley-Dickson algebra

\(\R \oplus \R \) に積を定義したものが, \(\bbC \), \(\bbC \oplus \bbC \) に積を定義したのが 四元数 \(\Ha \), \(\Ha \oplus \Ha \)に積を定義したのが 八元数 \(\mathbb {O}\)である。このようにして, \(\R \) から始めて, 順番に次元を\(2\)倍する操作を繰り返して作った algebra を Cayley-Dickson algebra という。

• 実数 \(\R \)
• 複素数 \(\bbC \)
• 四元数 \(\Ha \)
• 八元数 \(\mathbb {O}\)

Biss と Dugger と Isaksen [BDI08] によると, Dickson が [Dic19] で四元数を二つ組み合せて八元数を作った操作を繰り返して一般化したのは, Dickson の学生だった Albert [Alb42] らしい。 その操作は, Dickson の2重化とか Cayley-Dickson process などと Dickson の名前を冠して呼ばれているが。

• Dickson の2重化, あるいは Cayley-Dickson process

Biss らの論文の Introduction には, 他にもいくつかの文献が挙げられている。

新しい見方としては, Albuquerque と Majid [AM99; AM00] によるものがある。彼等は Cayley-Dickson process を, cocycle による group algebra の twisting と関連付けて, ある monoidal category での可換で結合的な algebra (monoid object) とみなすことができることを示した。その流れで, Bulacu [Bul09] は, 適当な symmetric monoidal category での commutative cocommutative weak braided Hopf algebra とみなすことができることを, 示している。

少し前までは, 八元数 (Cayley数) \(\mathbb {O}\) までしか考えなかったが, 最近, より高次元の Cayley-Dickson algebra も調べられるようになってきた。例えば \(\mathbb {O}\) の2重化は sedenion と呼ばれ \(\mathbb {S}\) と表されるようである。 Cawagas らの [Caw+] によると, 更にその2重化は trigintaduonion と呼ばれるらしい。

• sedenion \(\mathbb {S}\)
• trigintaduonion \(\mathbb {T}\)

代数的トポロジーでの応用を念頭に置いた研究としては, “Daniel” 達の仕事がある。Biss と Dugger と Isaksen は [BDI08] で高次の Cayley-Dickson algebra の代数的性質, 特に zero divisor を調べ始めた。その続編の [Bis+07] の Introduction によると, その motivation については, F. Cohen の [Coh92] を見るように書いてある。これには, 新たに Christensen が共著者に加わったが, 彼も Daniel であるのが面白い。彼等は, [Bis+09] で Eigentheory を展開している。

Cawagas の [Caw04] によると, 高次の Cayley-Dickson algebra の研究のもう一つの motivation は, 数理物理への応用にあるらしい。例えば, Imaeda と Imaeda の [II00] といった文献や Okubo の本 [Oku95] がある。

Sedenion から先の Cayley-Dickson algebra と八元数までとの最大の違いの一つは, zero divisor を持つか持たないかなの で, “Dainiel”達以外にも zero divisor を調べている人は, 何人かいる。上記の文献以外には, Moreno の [Mor98] や de Marraisの[Mar] などがある。

Sedenion を特徴付けるために, divsion algebra や composition algebra という条件とは別の見方をしようというのが, Bresar と Semrl Spenko の [BeŠ11] である。そこでは, locally complex algebra という概念が導入されている。

• locally complex algebra

四元数の中の \(\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}\) は群を成し, 四元数群と呼ばれているが, 高次の Cayley-Dickson algebra での類似を, Kirshtein [Kir14] が Cayley-Dickson loop と呼んで調べている。

• Cayley-Dickson loop

驚くことに Cayley-Dickson algebra 上で解析を行なうことも考えられている。 Ludkowski の [Lyu05; LS10; FL; Lud19] など。

References

[Alb42]

A. A. Albert. “Quadratic forms permitting composition”. In: Ann. of Math. (2) 43 (1942), pp. 161–177. url: https://doi.org/10.2307/1968887.

[AM00]

Helena Albuquerque and Shahn Majid. “New approach to octonions and Cayley algebras”. In: Nonassociative algebra and its applications (São Paulo, 1998). Vol. 211. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. New York: Dekker, 2000, pp. 1–7. arXiv: math/9810037.

[AM99]

Helena Albuquerque and Shahn Majid. “Quasialgebra structure of the octonions”. In: J. Algebra 220.1 (1999), pp. 188–224. arXiv: math/9802116. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1998.7850.

[BDI08]

Daniel K. Biss, Daniel Dugger, and Daniel C. Isaksen. “Large annihilators in Cayley-Dickson algebras”. In: Comm. Algebra 36.2 (2008), pp. 632–664. arXiv: math/0511691. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927870701724094.

[BeŠ11]

Matej Brešar, Peter emrl, and Špela Špenko. “On locally complex algebras and low-dimensional Cayley-Dickson algebras”. In: J. Algebra 327 (2011), pp. 107–125. arXiv: 1010 . 2156. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.11.003.

[Bis+07]

Daniel K. Biss, J. Daniel Christensen, Daniel Dugger, and Daniel C. Isaksen. “Large annihilators in Cayley-Dickson algebras. II”. In: Bol. Soc. Mat. Mexicana (3) 13.2 (2007), pp. 269–292. arXiv: math/ 0702075.

[Bis+09]

Daniel K. Biss, J. Daniel Christensen, Daniel Dugger, and Daniel C. Isaksen. “Eigentheory of Cayley-Dickson algebras”. In: Forum Math. 21.5 (2009), pp. 833–851. arXiv: 0905.2987. url: http://dx.doi.org/10.1515/FORUM.2009.041.

[Bul09]

Daniel Bulacu. “The weak braided Hopf algebra structure of some Cayley-Dickson algebras”. In: J. Algebra 322.7 (2009), pp. 2404–2427. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.06.024.

[Caw+]

Raoul E. Cawagas et al. The Subalgebra Structure of the Cayley-Dickson Algebra of Dimension 32 (trigintaduonion). arXiv: 0907.2047.

[Caw04]

Raoul E. Cawagas. “On the structure and zero divisors of the Cayley-Dickson sedenion algebra”. In: Discuss. Math. Gen. Algebra Appl. 24.2 (2004), pp. 251–265.

[Coh92]

F. R. Cohen. “On the Whitehead square, Cayley-Dickson algebras, and rational functions”. In: Bol. Soc. Mat. Mexicana (2) 37.1-2 (1992). Papers in honor of José Adem (Spanish), pp. 55–62.

[Dic19]

L. E. Dickson. “On quaternions and their generalization and the history of the eight square theorem”. In: Ann. of Math. (2) 20.3 (1919), pp. 155–171. url: http://dx.doi.org/10.2307/1967865.

[FL]

Emmanuel Frenod and Sergey Victor Ludkowski. Integral operator approach over octonions to solution of nonlinear PDE. arXiv: 1610. 06241.

[II00]

K. Imaeda and M. Imaeda. “Sedenions: algebra and analysis”. In: Appl. Math. Comput. 115.2-3 (2000), pp. 77–88. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0096-3003(99)00140-X.

[Kir14]

Jenya Kirshtein. “Multiplication groups and inner mapping groups of Cayley-Dickson loops”. In: J. Algebra Appl. 13.1 (2014), pp. 1350078, 26. arXiv: 1207.4230. url: https://doi.org/10.1142/S0219498813500783.

[LS10]

S. V. Ludkowski and W. Sprössig. “Ordered representations of normal and super-differential operators in quaternion and octonion Hilbert spaces”. In: Adv. Appl. Clifford Algebr. 20.2 (2010), pp. 321–342. url: https://doi.org/10.1007/s00006-009-0180-5.

[Lud19]

S. V. Ludkowski. “Automorphisms and derivations of nonassociative \(C^*\)-algebras”. In: Linear Multilinear Algebra 67 (2019), pp. 1531–1538. url: https://doi.org/10.1080/03081087.2018.1460794.

[Lyu05]

S. V. Lyudkovskiı̆. “Functions of several Cayley-Dickson variables and manifolds over them”. In: Sovrem. Mat. Prilozh. (2005), pp. 71–102. url: https://doi.org/10.1007/s10958-007-0043-3.

[Mar]

Robert P. C. de Marrais. The 42 Assessors and the Box-Kites they fly: Diagonal Axis-Pair Systems of Zero-Divisors in the Sedenions’ 16 Dimensions. arXiv: math/0011260.

[Mor98]

Guillermo Moreno. “The zero divisors of the Cayley-Dickson algebras over the real numbers”. In: Bol. Soc. Mat. Mexicana (3) 4.1 (1998), pp. 13–28.

[Oku95]

Susumu Okubo. Introduction to octonion and other non-associative algebras in physics. Vol. 2. Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge, 1995, pp. xii+136. isbn: 0-521-47215-6. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511524479.