Model Structures on the Category of Simplicial Sets

Simplicial set の圏は, Kan fibration を fibration, inclusion を cofibration, 幾何学的実現をとって弱ホモトピー同値になる写像を weak equivalence として, モデル圏になる。 これは, Quillen [Qui67] によって発見されたモデル構造であり, 様々なモデル構造の基本となるものである。Sattler の [Sat] では Kan model structure と呼ばれている。

• simplicial set の圏の Kan-Quillen model structure

Sattler の [Sat] では, この model structure は選択公理を用いずに構成できることが示されている。

別のモデル構造としては Joyal によるものがある。 様々な文献で参照されている Joyal の preprint [Joy] がある。 Lurie の本 [Lur09] に解説があるので, そちらを見るとよいだろう。Lurie の本は, 出版後も Lurie の web site から download できるので有り難い。 他には, [DS11] の Appendix C がある。

• simplicial set の Joyal model structure

この Joyal model structure が Lurie の本で扱われているのは, fibrant object が quasicategory (Lurie の言葉では \(\infty \)-category) と一致するからである。

これらは, small category の category の model structure と関連が深い。

• model structures on the category of small categories

Weak equivalence を変えずに fibration や cofibration を変えて, Quillen のモデル構造を別のモデル構造にすることができることを示しているのは, Beke の [Bek10] である。

他にも, simplicial set の category の model structure としては, Campbell と Lanari による truncated quasicategory に対応するもの [CL] や, Feller の [Fel] がある。

Simplicial set の model category を元に, simplicial set の diagram の category の model structure を定義することができる。特に, 群 \(G\) に対し, \(G\)-simplicial set の category に model structure が定義できる。

• small category から simplicial set の圏への functor の成す圏のモデル構造 (Fritsch と Golasinski の [FG98])
• 特に, \(G\)-simplicial set の圏のモデル構造
• ある圏 (smallでなくてもよい) から, simplicial set の圏への small functor の圏のモデル構造 (Chorny と Dwyer [CD09])

Operadの \((\infty ,1)\)-version を考えたりする場合, simplicial set の一般化として, dendroidal set を用いるのが便利だということが分かってきたが, もちろん simplicial set の圏のモデル構造の一般化は考えられている。

• dendroidal set の圏の Joyal-type モデル構造 [CM11]
• dendroidal set の圏の Quillen-type モデル構造
• simplicial dendroidal set あるいは dendroidal space の圏のモデル構造 [CT12]

更に, \(\Delta \) をより一般の small category に取り替えた場合を考えること もできる。実際, Cisinski の [Cis06] によると, Grothendieck は, その上の集合の presheaf の圏の「ホモトピー圏」がCW複体のホモトピー圏と同 値になるような small category を “Pursuing Stacks” で考えたらしい。 そのような small category を test category という。

• test category

もちろん, ホモトピー圏について議論するためには, model category や \((\infty ,1)\)-category などの枠組みが必要であるが, Cisinski [Cis06] は, small category 上の 集合の圏に値を持つ contravariant functor (presheaf) の圏の model structure を考えている。Cisinski の thesis [Cis06] は300ページあるフランス語の論文であるが, 幸い Jardine の解説 [Jar06] があるので, それをまず読んだ方がよい。

References

[Bek10]

Tibor Beke. “Fibrations of simplicial sets”. In: Appl. Categ. Structures 18.5 (2010), pp. 505–516. arXiv: 0810 . 4960. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-009-9190-7.

[CD09]

Boris Chorny and William G. Dwyer. “Homotopy theory of small diagrams over large categories”. In: Forum Math. 21.2 (2009), pp. 167–179. arXiv: math/0607117. url: http://dx.doi.org/10.1515/FORUM.2009.009.

[Cis06]

Denis-Charles Cisinski. “Les préfaisceaux comme modèles des types d’homotopie”. In: Astérisque 308 (2006), pp. xxiv+390.

[CL]

Alexander Campbell and Edoardo Lanari. On truncated quasi-categories. arXiv: 1810.11188.

[CM11]

Denis-Charles Cisinski and Ieke Moerdijk. “Dendroidal sets as models for homotopy operads”. In: J. Topol. 4.2 (2011), pp. 257–299. arXiv: 0902.1954. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtq039.

[CT12]

Denis-Charles Cisinski and Gonçalo Tabuada. “Symmetric monoidal structure on non-commutative motives”. In: J. K-Theory 9.2 (2012), pp. 201–268. arXiv: 1010 . 4956. url: http://dx.doi.org/10.1017/is011011005jkt169.

[DS11]

Daniel Dugger and David I. Spivak. “Mapping spaces in quasi-categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.1 (2011), pp. 263–325. arXiv: 0911.0469. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2011.11.263.

[Fel]

Matthew Feller. Generalizing quasi-categories via model structures on simplicial sets. arXiv: 2111.06512.

[FG98]

Rudolf Fritsch and Marek Golasiński. “Simplicial and categorical diagrams, and their equivariant applications”. In: Theory Appl. Categ. 4 (1998), No. 4, 73–81 (electronic).

[Jar06]

J. F. Jardine. “Categorical homotopy theory”. In: Homology, Homotopy Appl. 8.1 (2006), pp. 71–144. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1140012467.

[Joy]

André Joyal. The Theory of Quasi-Categories and its Applications. url: https://mat.uab.cat/~kock/crm/hocat/advanced-course/Quadern45-2.pdf.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[Qui67]

Daniel G. Quillen. Homotopical algebra. Lecture Notes in Mathematics, No. 43. Berlin: Springer-Verlag, 1967, iv 156 pp. (not consecutively paged).

[Sat]

Christian Sattler. The Equivalence Extension Property and Model Structures. arXiv: 1704.06911.