N-DG Algebras, N-DG Categories, and Related Topics

Chain complex を \(N\)-complex に一般化することは様々な人が考えているが, その際には differential graded algebra (dg algebra) の \(N\)-complex 版も考えたい。

Differential graded algebra (dg algebra) は, chain complex の成す monoidal category の monoid object だから, \(N\)-complex の monoidal category が定義できれば, そこでの monoid object として \(N\)-complex での類似が定義できる。

• \(N\)-complex の monoidal category

実際, そのアプローチは, Kapranov の [Kap] や Dubois-Violette らの [Dub96; DK96; Dub98; Dub09] で用いられている。Differential graded category (dg category) の \(N\)-complex 版である \(N\)-dg category も定義できる。

• \(N\)-dg algebra
• \(N\)-dg category

また, この \(N\)-complex の monoidal category は, Bichon [Bic03] により, ある Hopf algebra 上の comodule の成す category と monoidal category として同値であることが示されている。 これは, chain complex の場合の Pareigis の結果 [Par81] の一般化である。

Diaz ら [AD07; ACD07] は, 少し異なる \(N\)-dg algebra の定義を用いている。

Kapranov らの方法では, 係数環の中に \(1\) の \(N\) 乗根 \(q\) を選び, それを用いて monoidal structure を定義する。 よって, 係数環 \(k\) の標数が \(p\) のときは, Kapranov らの方法では, \(N\)-dg algebra は定義できない。

一方, その場合, \(k[d]/(d^{p})\) が Hopf algebra になるので, Khovanov [Kho16] の Hopf algebra を用いた方法 が使える。

• \(p\)-dg algebra

当然, 彼等は categoryifcation に使うことを考えている。Qi と Sussan [QS16] は, braid 群の Burau representation の \(1\) の \(p\)乗根での categorification を構成している。

Elias と Qi [EQ16]は, その many-objectification である \(p\)-dg category を使っている。

• \(p\)-dg category

References

[ACD07]

Mauricio Angel, Jaime Camacaro, and Rafael Dı́az. “On the \((3,N)\) Maurer-Cartan equation”. In: J. Nonlinear Math. Phys. 14.4 (2007), pp. 540–561. arXiv: 0704. 0824. url: http://dx.doi.org/10.2991/jnmp.2007.14.4.4.

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[Dub96]

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[Dub98]

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[EQ16]

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[Kho16]

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[QS16]

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