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Associative algebra で, 積がいくつかの operation の和に分解するものを, Loday algebra と言うらしい。
Bai と Liu と Ni の [LNB] では, Loday の [Lod04] と Ebrahimi-Fard と Guo の [EG05]
が参照されている。
例としては, 以下のようなものがある:
- Zinbiel algebra ([Lod01])
- dendriform algebra ([Lod01])
- tridendriform algebra ([LR04])
- quadri-algebra ([AL04])
- \(NS\)-algebra ([Ler04a])
- octo-algebra ([Ler])
- ennea-algebra ([Ler04b])
- dendriform-Nijenhuis algebra ([Ler04a])
- \(\gamma \)-polydendriform algebra ([Gir16])
Dendriform algebra とは, associative algebra の積が2種類の binary operation
の和として分解するような構造のことである。 3種類に分解するものを, tridendriform algebra, 4種類に分解するものを
quadri-algebra と呼ぶ。
それぞれに, Lie algebra 版もある。例えば, Bai と Liu と Ni の [LNB] では, quadri-algebra の Lie
algebra 版が考えられている。
Dendriform という名前から分かるように, tree と関係が深い。よって associahedron とも関係がある。
Loday の [Lod13] によると, このような algebra では「積の半分」があるおかげで, 指数関数 (の巾級数展開) が \(n!\)
で割らずに定義できるようである。 Exponential map は Lie algebra と Lie群を結びつけるものであるから, このこのことは,
Lie algebra の一般化を考えるときには有効なように思える。
References
-
[AL04]
-
Marcelo Aguiar and Jean-Louis Loday. “Quadri-algebras”. In: J. Pure
Appl. Algebra 191.3 (2004), pp. 205–221. arXiv: math/0309171. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2004.01.002.
-
[EG05]
-
Kurusch Ebrahimi-Fard and Li Guo. “On products and duality
of binary, quadratic, regular operads”. In: J. Pure Appl.
Algebra 200.3 (2005), pp. 293–317. arXiv: math / 0407162. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2004.12.020.
-
[Gir16]
-
Samuele Giraudo. “Pluriassociative algebras II: The polydendriform
operad and related operads”. In:
Adv. in Appl. Math. 77 (2016), pp. 43–85. arXiv: 1603.01394. url:
https://doi.org/10.1016/j.aam.2016.02.004.
-
[Ler]
-
Philippe Leroux. On some remarkable operads constructed from
Baxter operators. arXiv: math/0311214.
-
[Ler04a]
-
Philippe Leroux. “Construction
of Nijenhuis operators and dendriform trialgebras”. In: Int. J. Math.
Math. Sci. 49-52 (2004), pp. 2595–2615. arXiv: math/0311132. url:
http://dx.doi.org/10.1155/S0161171204402117.
-
[Ler04b]
-
Philippe
Leroux. “Ennea-algebras”. In: J. Algebra 281.1 (2004), pp. 287–302.
url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2004.06.022.
-
[LNB]
-
Ligong Liu, Xiang Ni, and Chengming Bai. L-quadri-algebras. arXiv:
1104.0282.
-
[Lod01]
-
Jean-Louis Loday. “Dialgebras”. In: Dialgebras and related operads.
Vol. 1763. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2001, pp. 7–66.
url: http://dx.doi.org/10.1007/3-540-45328-8_2.
-
[Lod04]
-
Jean-Louis Loday. “Scindement d’associativité et algèbres de Hopf”.
In: Actes des Journées Mathématiques à la Mémoire de Jean Leray.
Vol. 9. Sémin. Congr. Paris: Soc. Math. France, 2004, pp. 155–172.
arXiv: math/0402084.
-
[Lod13]
-
Jean-Louis Loday. “Exponential series without denominators”. In: Lie
theory and its applications in physics. Vol. 36. Springer Proc. Math.
Stat. Springer, Tokyo, 2013, pp. 97–107. arXiv: 1201.5043. url:
https://doi.org/10.1007/978-4-431-54270-4_7.
-
[LR04]
-
Jean-Louis Loday and María Ronco. “Trialgebras and families of
polytopes”. In: Homotopy theory: relations with algebraic geometry,
group cohomology, and algebraic \(K\)-theory. Vol. 346. Contemp. Math.
Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004, pp. 369–398. arXiv: math/
0205043. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/346/06296.
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