Cech Cohomology

Abel圏 \(\bm {A}\) に値を持つ層のコホモロジーは, global section を層の圏から \(\bm {A}\) への left exact functor とみなし, その derived functor としてを定義するのが一般的であるが, 位相空間 \(X\) 上の層の場合, \(X\) の分解を用いて定義 (計算) することもできる。 これは, 代数的トポロジーでの扱いに近いアプローチである。

空間の分解にはいくつかの方法があるが, Čech cohomology の定義のためには, 開被覆 \(\cU \) による分解 \[ X = \bigcup _{U\in \cU } U \] を用いる。与えられた開被覆 \(\cU \) から \[ C_{0}(\cU ) = \coprod _{U\in \cU } U \] と定義すると, 全射 \(C(\cU )_{1}\to X\) が得られるが, これを comma category \(\category {Top}\downarrow X\) の object が得られる。 そして \(\category {Top}\downarrow X\) での \(n\)乗, つまり \(X\) 乗の\(n\)重 fiber product \[ C_{n}(\cU ) = \underbrace {C_{0}(U)\times _{X}\cdots \times _{X} C_{0}(U)}_{n+1} \] を取ると \(\category {Top}\downarrow X\) での simplicial object \(C_{\bullet }(\cU )\), つまり augmentation \(C_{\bullet }(\cU )\to X\) を持つ simplicial space を得る。 これにAbel圏 \(\bm {A}\) に値を持つ層 \(\cF \) を適用すると \(\bm {A}\) での cosimplicial object \(\cF (C_{\bullet }(\cU ))\) が得られ, よって cochain complex が得られる。 その cohomology が Čech cohomology である。

この simplicial object \(C_{\bullet }(\cU )\) は, Čech nerve とか Čech covering と呼ばれる。

• Čech nerve または Čech cover

この cover は, \(X\) の位相からできる Grothendieck topology での cover になっているが, それは Verdier により hypercover の概念に一般化されている。

• hypercover

定数層の Čech cohomology と Eilenberg-Mac Lane 空間への ホモトピー集合が, コンパクト生成 Hausdorff 空間に対して一致することが, Huber [Hub61] によって示されている。よって普通にホモトピー論を行なう際には, 敢て Čech cohomology を用いる必要はほとんどないだろう。ただ gerbe などを扱うためには知っておいた方がよい。

Čech cohomology と singular cohomology が一致しない例は, Eilenberg と Steenrod の本 [ES52] に書いてある, らしい。

References

[ES52]

Samuel Eilenberg and Norman Steenrod. Foundations of algebraic topology. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1952, p. xv 328.

[Hub61]

Peter J. Huber. “Homotopical cohomology and ̌Cech cohomology”. In: Math. Ann. 144 (1961), pp. 73–76.