2-categoryやそれに類する構造の分類空間

\(2\)-category の分類空間を構成する方法には, いくつかの試みがある。例えば, Carrasco と Cegarra と Garzón の [CCG10] に様々な構成がまとめて比較されている。他には, Bullejos とCegarra による preprint や [BFB05] がある。

Strict \(2\)-category の場合には, 代表的なのは次の二つの構成だろう。

• \(2\)-category \(C\) を small category の圏で enrich された圏とみなし, その2つの object \(x,y\) に対し, その間の morphism の成す small category \(C(x,y)\) の分類空間 \(BC(x,y)\) を取ることにより topological categoryとし, その分類空間をとる。
• geometric nerve あるいは Duskin nerve (Duskin [Dus02] や Street [Str87])

これら2つの構成が同じ homotopy type を与えるか, というのは自然な問題であるが, \(2\)-groupoid の場合に Moerdijk と Svensson [MS93] により, 一般の \(2\)-category の場合には Bullejos と Cagerra [BC03] により証明されている。

Lack と Paoli [LP08] は, bicategory に対し small category の category での simplicial object を対応させることを考えている。彼等は, \(2\)-nerve と呼んでいる。

• \(2\)-nerve

更に, Horel [Hor16] はそこから Segal category, すなわち \((\infty ,1)\)-category を構成することを考えている。元になっている bicategory は, category with cofibrant objects から Weiss の [Wei99] により得られてものであるが。

他にも, bicategory に対する nerve は様々なものがあり, Carrasco と Cegarra と Garzón の [CCG10] では, 10種類のものが比較されている。そして, それらが全てホモトピー同値であることが示されている。

Small category の場合に nerve と関係が深いのが model structure であるが, Moerdijk と Svensson は, \(2\)-groupoid の圏に モデル圏の構造を定義していて, その結果は, Noohi [Noo07] により \(2\)-groupoid の間の “mapping space” の構成に用いられている。

QuillenのTheorem A や Grothendieck construction に対する Thomason の homotopy colimit theorem の類似などについては, Cegarra の [Ceg11] や del Hoyo の [Hoy12] などがある。 Cegarra と Heredia の [CH16] で, より一般的な場合が証明されている。

Topological bicategory の Duskin nerve の幾何学的実現は, Baas と Bökstedt と Kro [BBK12] により, 適当な条件の下で “bicategory bundle” を分類することが示されている。Bakovic と Jurco の [BJ10] では, Duskin nerve を元に classifying topos が構成されている。

del Hoyo [Hoy12] は, \(2\)-category \(C\) の分類空間のある object \(x\) に関する loop空間が, \(C(x,x)\) の分類空間とホモトピー同値であることを示し ている。

Small category の nerve は, small category から quasicategory, つまり \((\infty ,1)\)-category を構成する操作と考えることができる。この視点からは, bicategory の nerve は \((\infty ,2)\)-category を構成するものと考えるべきである。

• \((\infty ,2)\)-categorical nerve

ただ, \((\infty ,2)\)-category のモデルには, \((\infty ,1)\)-category より更に多くのモデルがあるので, \((\infty ,2)\)-categorical nerve として様々な構成が考えられる。 それらを比較し, 既存の \((\infty ,2)\)-categorical nerve が, \((\infty ,2)\)-category のモデルの同値を通して同値になるということを, Moser, Ozornova, Rovelli [MOR] が示している。

Symmetric monoidal bicategory の分類空間が \(E_{\infty }\)-structure を持つことは, Gurski と Osorno の [GO13] で示されている。

\(3\)-category (tricategory) の分類空間については, Cegarra と Heredia の [CH14] で考えられている。

References

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