Orbifoldの基本

まず, orbifold の定義であるが, Satake の [Sat57] を見るのがいいのだろうか。それとも, Moerdijk ら [Moe02; CM00] のように groupoid を用いて定義する方がいいのだろうか。Adem と Leida と Ruan の本 [ALR07] では, orbifold atlas を用いた定義の後で, 例, そして groupoid としての orbifold が書いてある。 Pohl の [Poh17] では, Moerdijk と Mrcun の本 [MM03] や Bridson と Haefliger の本 [BH99] が参照されているが, 前者が groupoid によるもの, 後者が orbifold atlas によるものである。

多様体のことをよく分かっている人は, Adem らの本のように orbifold atlas から始めるのがよいだろうし, topological category や stack に馴染んでいる人は, いきなり étale groupoid から始めても良いと思う。

• orbifold chart と orbifold atlas
• étale groupoid
• étale groupoid の sheaf homology [CM00]
• proper groupoid の定義
• groupoid の Morita 同値

Smooth étale groupoid を 一般化した pseudo étale groupoid という概念を考えているのは, Tang [Tan06] である。

• pseudo étale groupoid

多様体の一般化ということで, diffeological space として定義する流儀もある。 Iglesias, Karshon, Zadka の [IKZ10] など。

• diffeological space としての orbifold

Orbifold の間の写像についてもいくつかの流儀がある。

• Satake の orbifold map の定義
• Chen-Ruan の good map の定義 [CR04]
• Henriques の定義 [Hen]
• Chen の定義 [Che06]
• Pohl [Poh17] による reduced orbifold の間の morphism の定義

この reduced というのは, 各 orbifold atlas での群の作用が effective であるという意味である。

• reduced orbifold

Orbifold と groupoid の関係から, orbifold 全体は, \(2\)-category (bicategory) を成すと考えるのが自然である。実際, Tommasini は, [Tom12] で complex reduced orbifold の成す \(2\)-category を構成している。

可微分 reduced orbifold の場合には, 可微分多様体で使われている道具がそのまま使えるようである。例えば orbifold 上の vector bundle など。

Chen と Ruan の [CR02] の Appendix は, orbifold の入門になっていて, orbifold vector bundle の微分幾何についての section もある。そこでは, good vector bundle の定義が与えられ, good vector bundle について Chern-Weil theory が展開できることが述べられている。Seaton の [Sea07] は, bad vector bundle の場合についての考察である。

References

[ALR07]

Alejandro Adem, Johann Leida, and Yongbin Ruan. Orbifolds and stringy topology. Vol. 171. Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 2007, p. xii 149. isbn: 978-0-521-87004-7; 0-521-87004-6.

[BH99]

Martin R. Bridson and André Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature. Vol. 319. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Berlin: Springer-Verlag, 1999, pp. xxii+643. isbn: 3-540-64324-9.

[Che06]

Weimin Chen. “On a notion of maps between orbifolds. I. Function spaces”. In: Commun. Contemp. Math. 8.5 (2006), pp. 569–620. arXiv: math/0603671. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0219199706002246.

[CM00]

Marius Crainic and Ieke Moerdijk. “A homology theory for étale groupoids”. In: J. Reine Angew. Math. 521 (2000), pp. 25–46. arXiv: math/9905011. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.2000.029.

[CR02]

Weimin Chen and Yongbin Ruan. “Orbifold Gromov-Witten theory”. In: Orbifolds in mathematics and physics (Madison, WI, 2001). Vol. 310. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 25–85. arXiv: math / 0103156. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/310/05398.

[CR04]

Weimin Chen and Yongbin Ruan. “A new cohomology theory of orbifold”. In: Comm. Math. Phys. 248.1 (2004), pp. 1–31. arXiv: math/0004129. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-004-1089-4.

[Hen]

André Henriques. Orbispaces and Orbifolds from the Point of View of the Borel Construction, a new Definition. arXiv: math/0112006.

[IKZ10]

Patrick Iglesias, Yael Karshon, and Moshe Zadka. “Orbifolds as diffeologies”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 362.6 (2010), pp. 2811–2831. arXiv: math/0501093. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-10-05006-3.

[MM03]

I. Moerdijk and J. Mrčun. Introduction to foliations and Lie groupoids. Vol. 91. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 2003, pp. x+173. isbn: 0-521-83197-0. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511615450.

[Moe02]

Ieke Moerdijk. “Orbifolds as groupoids: an introduction”. In: Orbifolds in mathematics and physics (Madison, WI, 2001). Vol. 310. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 205–222. arXiv: math/0203100.

[Poh17]

Anke D. Pohl. “The category of reduced orbifolds in local charts”. In: J. Math. Soc. Japan 69.2 (2017), pp. 755–800. arXiv: 1001.0668. url: https://doi.org/10.2969/jmsj/06920755.

[Sat57]

Ichirô Satake. “The Gauss-Bonnet theorem for \(V\)-manifolds”. In: J. Math. Soc. Japan 9 (1957), pp. 464–492.

[Sea07]

Christopher Seaton. “Characteristic classes of bad orbifold vector bundles”. In: J. Geom. Phys. 57.11 (2007), pp. 2365–2371. arXiv: math/0606665. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2007.08.001.

[Tan06]

Xiang Tang. “Deformation quantization of pseudo-symplectic (Poisson) groupoids”. In: Geom. Funct. Anal. 16.3 (2006), pp. 731–766. arXiv: math/0405378.

[Tom12]

Matteo Tommasini. “Orbifolds and groupoids”. In: Topology Appl. 159.3 (2012), pp. 756–786. arXiv: 1008 . 0988. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2011.11.043.