Etale Groupoids

Topological groupoid の中で, source map と target map が local homeomorphism であるものを étale groupoid という。例えば, orbifold や foliation や Cantor set 上の力学系などを調べるときに使われる。

文献としては, Renault の本 [Ren80], Paterson の本 [Pat99], Resende の lecture note [Res06], Moerdjik の [Moe02] などがある。 Étale groupoid の topological full group については, Matui の survey [Mat17] がある。

Paterson の本 [Pat99] にあるように, étale groupoid は, 作用素環 groupoid との関係でも inverse semigroup を介して重要な役割をはたしている。

Cockett と Garner [CG21] によると étale groupoid と complete pseudogroup の対応は, Ehresmann [Ehr54] や Haefliger [Hae58] の仕事にまで遡ることができるようである。 現代的な対応の形は, Resende により [Res06] の中で Theorem I.2.15 として証明されている。その対応は, Lawson と Lenz [LL13] により functorial できることが示されている。

Cockett と Garner [CG21] は, この対応を拡張している。

別の見方としては, Yamazaki [Yam22] が pseudogroup sheaf という概念を導入し étale groupoid との対応を考えている。

Orbifold を表すときには, 当然 smooth という条件を要求しないといけない。 Smooth étale groupoid の一般化として Tang [Tan06] は pseudo étale groupoid という概念を考えている。

References

[CG21]

Robin Cockett and Richard Garner. “Generalising the étale groupoid–complete pseudogroup correspondence”. In: Adv. Math. 392 (2021), Paper No. 108030, 79. arXiv: 2004 . 09699. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.108030.

[Ehr54]

Charles Ehresmann. “Structures locales”. In: Ann. Mat. Pura Appl. (4) 36 (1954), pp. 133–142. url: https://doi.org/10.1007/BF02412835.

[Hae58]

André Haefliger. “Structures feuilletées et cohomologie à valeur dans un faisceau de groupoı̈des”. In: Comment. Math. Helv. 32 (1958), pp. 248–329. url: https://doi.org/10.1007/BF02564582.

[LL13]

Mark V. Lawson and Daniel H. Lenz. “Pseudogroups and their étale groupoids”. In: Adv. Math. 244 (2013), pp. 117–170. arXiv: 1107. 5511. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.04.022.

[Mat17]

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[Moe02]

Ieke Moerdijk. “Orbifolds as groupoids: an introduction”. In: Orbifolds in mathematics and physics (Madison, WI, 2001). Vol. 310. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 205–222. arXiv: math/0203100.

[Pat99]

Alan L. T. Paterson. Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras. Vol. 170. Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1999, pp. xvi+274. isbn: 0-8176-4051-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-1774-9.

[Ren80]

Jean Renault. A groupoid approach to \(C^{\ast } \)-algebras. Vol. 793. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Berlin, 1980, pp. ii+160. isbn: 3-540-09977-8.

[Res06]

Pedro Resende. Lectures on étale groupoids, inverse semigroups and quantales. Lecture Notes for the GAMAP IP Meeting, Antwerp. 2006. url: https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~pmr/poci55958/gncg51gamap-version2.pdf.

[Tan06]

Xiang Tang. “Deformation quantization of pseudo-symplectic (Poisson) groupoids”. In: Geom. Funct. Anal. 16.3 (2006), pp. 731–766. arXiv: math/0405378.

[Yam22]

Koji Yamazaki. “Sheaf theoretic characterization of étale groupoids”. In: Topology Appl. 312 (2022), Paper No. 108091, 14. arXiv: 1907. 10365. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2022.108091.