Model Categories of Diagrams

モデル圏 \(\bm {M}\) の中での small category \(I\) の形をした図式, つまり functor \(I\to \bm {M}\) の成す圏は, 様々な場面で登場する。例えば, simplicial object の成す圏とか, presheaf の成す圏とか。

そのため, 一般に図式の圏 \(\bm {M}^{I}\) のモデル構造について, 古くから調べられている。

• simplicial set の圏のモデル構造
• 層や前層の成す圏のモデル構造

もちろん, いくつか選択肢がある。良く使われるのは, injective model structure と projective model structure である。 これらについては, 前層の場合は Isaksen の [Isa05], 一般の場合は Hess らの [Hes+17] を見るとよい。

• injective model structure
• projective model structure

\(I\) が poset \(0<1\) のときは, \(\bm {M}^{I}\) は, \(\bm {M}\) の morphism の成す圏である。最近では, arrow category と呼ばれ \(\category {Arr}(\bm {M})\) と書かれることが多いようである。 私は morphism category と呼んだ方がいいように思うが。 その model structure について, \(\bm {M}\) が closed symmetric monoidal model category のときの \(\category {Arr}(\bm {M})\) の closed symmetric monoidal model structure について, Hovey [Hov] が調べている。

\(I\) が Reedy category のときには, Reedy model structure が定義される。

• Reedy model structure

もちろん, \(\bm {M}\) にモデル構造が無くても \(\bm {M}^{I}\) が有用なモデル構造を持つ場合もある。Holm と Jorgensen の [HJ] など。

References

[Hes+17]

Kathryn Hess, Magdalena Kȩdziorek, Emily Riehl, and Brooke Shipley. “A necessary and sufficient condition for induced model structures”. In: J. Topol. 10.2 (2017), pp. 324–369. arXiv: 1509. 08154. url: https://doi.org/10.1112/topo.12011.

[HJ]

Henrik Holm and Peter Jorgensen. The \(Q\)-shaped derived category of a ring. arXiv: 2101.06176.

[Hov]

Mark Hovey. Smith ideals of structured ring spectra. arXiv: 1401. 2850.

[Isa05]

Daniel C. Isaksen. “Flasque model structures for simplicial presheaves”. In: \(K\)-Theory 36.3-4 (2005), 371–395 (2006). arXiv: math/ 0401132. url: https://doi.org/10.1007/s10977-006-7113-z.