Differential K-Theory

Differential cohomology の定義では, Chern character (の一般化) が用いられる。 なので, \(K\)-theory の場合が基本的である。

\(K\)-theory の場合の, differential version の 構成としては, Ho の [Ho12] では, Bunke と Schick の [BS09], Freed と Lott の [FL10], Hopkins と Singer の [HS05], Simons と Sullivan の [SS10] が挙げられている。 Ho は, differential \(K\)-theory についての survey としては, Bunke と Schick の [BS12] を挙げている。

Differential \(K\)-theory にはこのように様々な構成があるわけだが, Ho [Ho12] は, Freed-Lott の構成と Simons-Sullivan の構成の explicit な同型を与えている。

Hekmatti と Murray と Schlegel と Vozzo の [Hek+15] によると, Bunke と Schick の公理化により, これらの differential \(K\)-theory は even degree の部分は全て同型になるが, odd degree の部分は Bunke と Schick の公理だけでは一意性が言えないらしい。彼等は, Simons と Sullivan の structured vector bundle を用いた構成 [SS10] の odd degree 版を考えている。

Total Chern class とうまく合う smooth \(K\)-theory を考えているのは, Berthomieu [Ber10] である。Smooth \(K\)-theory での Adams operation は Bunke の [Bun10] で定義されている。

Grady と Sati [GS18a] は, Massey product を stack を用いて定義している。彼等は [GS18b] で cohomology operation も stack を用いて定義している。 [GS17]では, Atiyah-Hirzebruch型の spectral sequence を構成している。

数論などへの応用のために, scheme の algebraic \(K\)-theory spectrum に associateした cohomology theory の differential version を考えているのは, Bunke と Tamme [BT15] である。そこでは Bunke と Gepner の共同研究で定義されたと書いてあるが, その論文が [BG21] のようである。

• differential algebraic \(K\)-theory

また, Bunke と Tamme は [BT16]で multiplicative version を導入している。

\(K_{0}\) のみであるが, algebraic \(K\)-theory の differential extension としては, Park らの [Par+] の方向もある。多様体ではなく, 非可換幾何の文脈で, algebra の Grothendieck group の differential extension を定義している。

Equivariant version を考えるためには Chern character の受け皿となる ordinary equivariant cohomology が必要であるが, Szabo と Valentino は, [SV10] で Bredon cohomology を用いている。 彼らの目的は, global quotient に対する orbifold differential \(K\)-theoryを定義することであるが。Equivariant \(K\)-theory の differential version は, Ortiz の [Ort] で構成されている。

Bunke と Schick は, この Szabo と Valentino のアイデアに基づいて orbifold \(K\)-theory の smooth extension [BS13] について考えている。

Tradler と Wilson と Zeinalian [TWZ15] は, \(K\)-theory と free loop space 上の微分形式を組み合せた loop differential \(K\)-theory というものを定義している。

References

[Ber10]

Alain Berthomieu. “A version of smooth \(K\)-theory adapted to the total Chern class”. In: J. K-Theory 6.2 (2010), pp. 197–230. arXiv: 0806.4728. url: https://doi.org/10.1017/is010009026jkt104.

[BG21]

Ulrich Bunke and David Gepner. “Differential function spectra, the differential Becker-Gottlieb transfer, and applications to differential algebraic \(K\)-theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 269.1316 (2021), pp. v+177. arXiv: 1306.0247. url: https://doi.org/10.1090/memo/1316.

[BS09]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. “Smooth \(K\)-theory”. In: Astérisque 328 (2009), 45–135 (2010). arXiv: 0707.0046.

[BS12]

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[BS13]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. “Differential orbifold K-theory”. In: J. Noncommut. Geom. 7.4 (2013), pp. 1027–1104. arXiv: 0905. 4181. url: https://doi.org/10.4171/JNCG/143.

[BT15]

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[BT16]

Ulrich Bunke and Georg Tamme. “Multiplicative differential algebraic \(K\)-theory and applications”. In: Ann. K-Theory 1.3 (2016), pp. 227–258. arXiv: 1311.1421. url: https://doi.org/10.2140/akt.2016.1.227.

[Bun10]

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[FL10]

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[GS17]

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[GS18a]

Daniel Grady and Hisham Sati. “Massey products in differential cohomology via stacks”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 13.1 (2018), pp. 169–223. arXiv: 1510 . 06366. url: https://doi.org/10.1007/s40062-017-0178-y.

[GS18b]

Daniel Grady and Hisham Sati. “Primary operations in differential cohomology”. In: Adv. Math. 335 (2018), pp. 519–562. arXiv: 1604. 05988. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.07.019.

[Hek+15]

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[Ho12]

Man-Ho Ho. “The differential analytic index in Simons-Sullivan differential \(K\)-theory”. In: Ann. Global Anal. Geom. 42.4 (2012), pp. 523–535. arXiv: 1110. 0151. url: https://doi.org/10.1007/s10455-012-9325-1.

[HS05]

M. J. Hopkins and I. M. Singer. “Quadratic functions in geometry, topology, and M-theory”. In: J. Differential Geom. 70.3 (2005), pp. 329–452. arXiv: math/0211216. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1143642908.

[Ort]

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[Par+]

Byungdo Park, Arthur J. Parzygnat, Corbett Redden, and Augusto Stoffel. Noncommutative Differential \(K\)-theory. arXiv: 2106.12073.

[SS10]

James Simons and Dennis Sullivan. “Structured vector bundles define differential \(K\)-theory”. In: Quanta of maths. Vol. 11. Clay Math. Proc. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2010, pp. 579–599. arXiv: 0810.4935.

[SV10]

Richard J. Szabo and Alessandro Valentino. “Ramond-Ramond fields, fractional branes and orbifold differential \(K\)-theory”. In: Comm. Math. Phys. 294.3 (2010), pp. 647–702. arXiv: 0710.2773. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-009-0975-1.

[TWZ15]

Thomas Tradler, Scott O. Wilson, and Mahmoud Zeinalian. “Loop differential K-theory”. In: Ann. Math. Blaise Pascal 22.1 (2015), pp. 121–163. arXiv: 1201.4593. url: http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2015__22_1_121_0.