Cacti Operad

Voronov [Vor05] は, little cubes operad の変種としてサボテン operad を導入し, その homology が compact smooth manifold の free loop space の homology (の degree を shift したもの) に作用することを示している。より正確には, Thom spectrum への作用と考えるべきであるが。 そして, それが Batalin-Vilkovisky structure を定めることも示している。

• サボテン operad が framed \(2\)-disks operad と同値であること。
• サボテン operad の \(LM^{-TM}\) への作用

Framed \(2\)-disk operad と cacti operad の関係については, Hepworth の [Hep13] を見るとよい。そこでは, Salvatore [Sal09] による cacti operad の定義が使われている。

Ralph Kaufmann はサボテン operad のいくつかの変種を [Kau05] で定義している。サボテン operad について学ぶには, この論文から始めるのがいいだろう。サボテン operad の定義には, tree などの概念が必要になる。Kaufmann は, その過程で quasi-operad や (quasi-)operad の bi-crossed product などの概念を定義している。また Kaufmann は [Kau07b; Kau08a] で棘なしサボテン operad を用いて Deligne 予想の別証を与えている。

• 棘なしサボテン (spineless cacti) operad

サボテン operad は free loop space に対応するものであるが, その \(S^1\) をより高次元の多様体に変えた mapping space に作用するものを Bargheer が [Bar14] で考えている。

Chernov と Rudyak の [CR] では, 多様体をいくつかの点でくっつけた garland というものが考えられている。\(S^1\) の場合は Chas-Sullivan理論, よってサボテン operad と直接関係がありそうであるが, tree 状にくっつくという制限が無いため, 少し異なる。

サボテン operad に関連した operad として Arc operad がある。 これは境界を持つ Riemann面の, 境界から出発し境界で終わる道から成る operad である。Riemann面の moduli space と関係が深い, らしい。この Arc operad は古くからある Riemann面上の “complex of curves” と呼ばれる単体的複体 [Har81; Ham] を operad 化したもののように思える。

• arc operad [KLP03]
• 種数 \(0\) の Arc operad の singular chain complex の成す operad 上の algebra は Batalin-Vilkovisky algebra の構造を持つ。[KLP03]
• サボテン operad は arc operad に suboperad として埋め込まれている。 [KLP03]

更に, Kaufmann は [Kau07a; Kau08b] で Arc operad などいくつかの Riemann面の moduli space に関連した operad の cell model の Frobenius algebra の Hochschild cochain への作用が存在することを述べている。

Kaufmann の [KLP03] の Appendix には \[ d(n) = (S^1)^{n+1} \] で定義される空間族 \(d = \{d(n)\}\) 上の operad の構造についても書いてある。

Kaufmann は, 更に [Kau09] で, 新しい \(E_{\infty }\)-operad を構成している。

References

[Bar14]

Tarje Bargheer. “The cleavage operad and string topology of higher dimension”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 366.8 (2014), pp. 4209–4241. arXiv: 1012.4839. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2014-05946-1.

[CR]

Vladimir Chernov and Yuli. B. Rudyak. Algebraic structures on generalized strings. arXiv: math/0306140.

[Ham]

Ursula Hamenstaedt. Geometry of the complex of curves and of Teichmueller space. arXiv: math/0502256.

[Har81]

W. J. Harvey. “Boundary structure of the modular group”. In: Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook, N.Y., 1978). Vol. 97. Ann. of Math. Stud. Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 1981, pp. 245–251.

[Hep13]

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[Kau05]

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[Kau07a]

Ralph M. Kaufmann. “Moduli space actions on the Hochschild co-chains of a Frobenius algebra. I. Cell operads”. In: J. Noncommut. Geom. 1.3 (2007), pp. 333–384. arXiv: math / 0606064. url: http://dx.doi.org/10.4171/JNCG/10.

[Kau07b]

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[Kau08a]

Ralph M. Kaufmann. “A proof of a cyclic version of Deligne’s conjecture via cacti”. In: Math. Res. Lett. 15.5 (2008), pp. 901–921. arXiv: math/0403340.

[Kau08b]

Ralph M. Kaufmann. “Moduli space actions on the Hochschild co-chains of a Frobenius algebra. II. Correlators”. In: J. Noncommut. Geom. 2.3 (2008), pp. 283–332. arXiv: math / 0606065. url: http://dx.doi.org/10.4171/JNCG/22.

[Kau09]

Ralph M. Kaufmann. “Dimension vs. genus: a surface realization of the little \(k\)-cubes and an \(E_{\infty }\) operad”. In: Algebraic topology—old and new. Vol. 85. Banach Center Publ. Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2009, pp. 241–274. arXiv: 0801 . 0532. url: http://dx.doi.org/10.4064/bc85-0-17.

[KLP03]

Ralph M. Kaufmann, Muriel Livernet, and R. C. Penner. “Arc operads and arc algebras”. In: Geom. Topol. 7 (2003), 511–568 (electronic). arXiv: math/0209132. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2003.7.511.

[Sal09]

Paolo Salvatore. “The topological cyclic Deligne conjecture”. In: Algebr. Geom. Topol. 9.1 (2009), pp. 237–264. arXiv: 0806.3904. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2009.9.237.

[Vor05]

Alexander A. Voronov. “Notes on universal algebra”. In: Graphs and patterns in mathematics and theoretical physics. Vol. 73. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005, pp. 81–103. arXiv: math/0111009.