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Harvey は, [Har81]で 曲面 (\(2\)次元多様体) 上の単純閉曲線の集合から単体的複体を定義した。
その曲面上の単純閉曲線のホモトピー類を頂点とするものである。 それをその曲面の complex of curves という。Survey として
Hamenstaedt の [Ham] がある。
重要な性質として, metric を持つこと, そして双曲的であることがある。Masur と Minsky [MM99; MM00] による。
Hensel と Przyticki [HP] によると, そのことを用いると boundary が定義できるようである。そしてそれが ending
lamination space と同相であることは, Klarreich により証明されたらしい。
変種として arc から成る複体, そして curve と arc から成る複体がある。
- complex of arcs ([Hat91; IM])
- complex of curves and arcs ([Hat91; KP])
Mapping class group との関係は多くの人により調べられている。ホモロジーについては, Harer [Har85; Har86] や
Ivanov [Iva91a; Iva91b; Iva97], そして Broaddus [Bro] など。これらの複体の automorphism group
と元の曲面の mapping class group との関係も調べられている。Korkmaz と Papadopoulos の [KP] の
Introduction を見るとよいかもしれない。
Papadopoulos は McCarthy との共著 [MP] で, complex of domains という complex of
curves を含む simplicial complex を定義している。 Disarlo [Dis] は, それに metric を定義し, その coarse
geometry を調べている。
Bestvina ら [BBM10] は, Riemann 面に対し, complex of cycles という Torelli 群が作用する cell
complex を定義している。Hatcher は [Hat] で類似の simplicial complex を構成している。
Mapping class group と free groupのouter automorphism group \(\mathrm{Out}(F_n)\) の類似性から, \(\mathrm{Out}(F_n)\)
に対する Teichmüller space の類似として outer space が, Culler と Vogtmann [CV86]
により定義されている。
- Culler と Vogtmann の outer space
Francaviglia と Martino の [FM] によると, Culler と Vogtmann の outer space については,
Vogtmann の survey [Vog02] がある。 また, AMS Notices の2008年7月号の “What is \(\ldots \)”
[Vog08] にも簡潔な解説がある。Francaviglia と Martino は outer space の isometry group が \(\mathrm{Out}(F_n)\)
になることを示している。
Outer space の構成は, 様々な方向に一般化されている。群の有限個の free product へ拡張している Guirardel と
Levitt の [GL], Forester [For] の simplicial \(G\)-tree の deformation space, Charney と
Stambaugh と Vogtmann [CSV] の right-angled Artin group に対する類似, などである。
Sabalka と Savchuk の [SS] によると, outer space に比べ Teichmüller space の理解が進んでいるのは,
Masur と Minsky の [MM99] により, curve complex が hyperbolic であることが分かっているから, らしい。 \(\mathrm{Out}(F_n)\)
に対する curve complex の類似も色々考えられている。 Behrstock と Bestvina と Clay は [BBC]
で次の三種類の類似の complex を考えている。
- complex of free factors of a free group
- complex of (connected) subgraphs
- splitting complex
References
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[BBC]
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of intersection numbers for free group automorphisms. arXiv:
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In: J. Amer. Math. Soc. 23.1 (2010), pp. 61–105. arXiv: 0709.0287.
url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-09-00643-2.
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[Bro]
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[Vog08]
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Karen Vogtmann. “What is\(\dots \)outer space?” In: Notices Amer. Math.
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