多様体の(コ)ホモロジーの計算例

多様体は, 胞体分割できる。 つまりCW複体の構造を持つ。 よって具体的な胞体分割を見付けることにより, ホモロジーが計算できる場合もある。 最も基本的なものは球面であり, まずは球面のホモロジーを知るべきである。 そして次は射影空間だろうか。

• \(S^n\)
• 各種射影空間 \(\RP ^n\), \(\CP ^n\), \(\mathbb{H}\mathrm{P}^n\)

\(n\)次元球面 \(S^n\) は次のような商空間とみなすことができる。 \[ S^n \cong \mathrm{SO}(n+1)/\mathrm{SO}(n) \] また \[ S^{2n+1} \cong U(n+1)/U(n) \] とか \[ S^{4n+3} \cong \mathrm{Sp}(n+1)/\mathrm{Sp}(n) \] という同相もある。

より一般に, \(G=\mathrm{SO}\), \(U\), \(\mathrm{Sp}\) として, \(G(m+n)/G(n)\) は, Stiefel 多様体という種類の多様体と同相になる。

球面のホモロジーがわかれば, Stiefel多様体のホモロジーは, \[ G(m+n-1)/G(n) \longrightarrow G(m+n)/G(n) \longrightarrow G(m+n)/G(m+n-1). \] というファイバー束に対する Serre spectral sequence の計算で求めることができる。そして \(G(n)\) のホモロジーもわかる。 これらの計算については, 例えば, McCleary の本 [McC01] にある。

射影空間にはいくつかの定義があるが, 次のように球面の商空間とみなすこともできる: \begin{align*} \RP ^n & \cong S^n/S^0 \\ \CP ^n & \cong S^{2n+1}/S^1 \\ \mathbb{H}\mathrm{P}^n & \cong S^{4n+3}/S^3 \end{align*}

ここで, \(S^0\), \(S^1\), \(S^3\) は \(\R \), \(\bbC \), \(\Ha \) の単位球面とみなしている。 八元数体上でも, 射影平面は定義できるが, 八元数の積は結合法則を満たさないので, このように群の作用による商空間として表わすことはできない。

上の表示を \begin{align*} \RP ^n & \cong O(n+1)/O(n)\times O(1) \\ \CP ^n & \cong U(n+1)/U(n)\times U(1) \\ \mathbb{H}\mathrm{P}^n & \cong \mathrm{Sp}(n+1)/\mathrm{Sp}(n)\times \mathrm{Sp}(1) \end{align*}

と直せば, 射影空間の一般化として Grassmann多様体 \(G(m+n)/G(m)\times G(n)\) が考えられる。 これらの空間の性質については, [小中菅67] の第1章§2や第2章§2を見るとよい。

• Stiefel 多様体の(コ)ホモロジー
• Grassmann 多様体の(コ)ホモロジー

\(\mathrm{SO}(n)\), \(U(n)\), \(\mathrm{Sp}(n)\)のような, Lie群は, かつて日本の代数的トポロジーの研究者の間では, 中心的な研究対象だった。 関西の研究者が中心となって, Lie群やそれに関連した空間, 等質空間や分類空間など, のコホモロジーを数多く決定した。 その結果の一部は, 戸田-三村の本 [戸三78; 戸三79; MT91] にまとめられている。 スペクトル系列の使い方を勉強したい人は, この本の計算を自分でやってみるとよい。

• Lie群やその分類空間の(コ)ホモロジー

References

[McC01]

John McCleary. A user’s guide to spectral sequences. Second. Vol. 58. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 2001, pp. xvi+561. isbn: 0-521-56759-9.

[MT91]

Mamoru Mimura and Hirosi Toda. Topology of Lie groups. I, II. Vol. 91. Translations of Mathematical Monographs. Translated from the 1978 Japanese edition by the authors. Providence, RI: American Mathematical Society, 1991, pp. iv+451. isbn: 0-8218-4541-1.

[小中菅67]

小松醇郎, 中岡稔, and 菅原正博. 位相幾何学 I. 東京: 岩波書店, 1967.

[戸三78]

戸田宏 and 三村護. リー群の位相(上). Vol. 14-A. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1978.

[戸三79]

戸田宏 and 三村護. リー群の位相(下). Vol. 14-B. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1979.