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Drinfeld [Dri87] と Jimbo [Jim85; Jim86] により発見された, Lie algebra の universal
enveloping algebra の “quantum deformation” として定義される Hopf algebra は,
量子群の典型的な例である。 Yang-Baxter 方程式の研究に端を発するらしい。
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Yang-Baxter 方程式
- quasi-triangular Hopf algebra
- Drinfeld-Jimbo の Lie algebra のuniversal enveloping algebra の \(q\) 変形
このタイプの量子群の教科書もいくつか出ている。例えば [Jan96; 神保道90; CP95; BG02; Maj95; Maj02;
Kas95; Fuc95; Lus10] などである。 Vaughan Jones の解説 [Jon04] では, subfactor
との関連などについて書いてある。
Lie群や代数群に関する概念を, 量子群に一般化しようというのは自然な考えである。Quantized (\(q\)-deformed) universal
enveloping algebra の prime および primitive spectrum を考えているのは Chin と Krop の
[CK06] である。 \(\widehat {\mathfrak {gl}}(n)\) の quantized enveloping algebra が, ある variety の (algebraic)
equivariant \(K\)-theory として表わされることが, Ginzburg や Vasserot ら [GV93; Vas98]
によって示されている。
Drinfeld と Jimbo は, Lie群 の Lie algebra の universal enveloping algebra の
deformation として量子群を考えたが, 代数群もしくは代数幾何の観点からは, 代数群上の regular function の成す algebra
の deformation (非可換版) というアプローチも考えられる。実際 Reshetikhin と Takhtadzhyan と Faddeev の
[RTF89] や Manin の [Man88] などがある。Bernstein と Khovanova は [BK96] でその二つのアプローチを \(\mathfrak {sl}_q(2)\)
について詳しく調べている。 他にも, De Concini と Lyubashenko が [DL94] で complex semisimple
connected simply connected affine algebraic group に対し, その quantum function algebra
を定義している。Gavarini の [Gav07] の目的は, それらに対し Poincaré-Birkoff-Witt theorem
が成り立つことを示すことである。
Quantum deformation を作る方法として, Hall algebra を用いたものがある。Yang と Zhao の [YZ18]
に書かれている cohomological Hall algebra の一般化だと, oriented cohomology から作られる。Yang と
Zhao は, [YZ] で Morava \(E\)-theory から作られるものについて調べている。
他にも, 関連した様々な代数的構造の \(q\)-deformation が考えられている。 例えば, N. Hu の [Hu99] など。
量子群の“有限部分群”や McKay correspondence の \(q\)-analogue [KO02] も考えられている。
Drinfeld は, quantum double (Drinfeld double) という操作を導入した。
古典群の量子群を考えるということは, 線型代数の量子化を考えている, ともみなせる。 Gurevich と Pyatov と Saponov が
[GPS05] で Cayley-Hamilton の定理の quantum version を考えている。
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