Generalizations and Variations of Knots

結び目や絡み目には, 様々な変種や一般化が考えられている。 例えば, Kauffman [Kau99] により導入された virtual knot というものがある。

• virtual knot

[FKM05] に virtual knot についての unsolved problem がまとめられている。Kauffman は introduction [Kau12] も書いている。 また, virtual braid という概念も考えている。

埋め込むものを一般化し, \(1\)次元の単体的複体, つまり グラフを考えている人もいる。

• グラフの埋め込み

\(2\)次元のものでは, grope というものがある。 基本群の lower central series による filtration と 関係がある。

• 自然数 \(c\) に対し class \(c\) の grope の定義

Grope は\(2\)次元の CW複体であり, 一般には多様体にはなっていない。Cannon により [Can78] で導入されたらしい。Grope の解説としては, Conant と Teichner の論文 [CT04] が分り易い。 歴史的なことについては, Freedman と Quinn の本 [FQ90] の§2.11 に書いてある。Cochran と Orr と Teichner [COT03] は, knot concordance group の grope による filtration を定義している。

別の analogy としては, \(\bbC ^2\) の中の (特異点を持つ) algebraic curve がある。結び目と同様, complement の基本群が基本的な不変量であるが, やはり結び目同様高度に非可換な群になる。よって, これを knot の手法で調べるというのは自然なアイデアである。まずは, Libgober の [Lib82; Lib83b; Lib83a] といった仕事がある。Leidy と Maxim は, [LM06] で higher-order Alexander invariants を定義している。

Vassiliev [Vas24] によると, Arnold が [Arn04] の中で Vassiliev 不変量 (finite type invariants) の理論の複素化を行なうことを提案している。 Vassiliev は, Libgober と同様 \(\bbC ^{k}\) の中の algebraic curve を complex knot とみなすことを提案している。 より正確には, 多項式で定義される写像 \(\bbC \to \bbC ^{k}\) であるが, それに対し Vassiliev 不変量の理論の類似が展開できることを示している。

• complex knot

\(\R ^3\) の contact structure を考慮に入れた Legendrian knot (link) というものも考えられている。

• Legendrian embedding
• Legendrian isotopy
• Legendrian knot (link)

Chekanov [Che02b; Che02a] や Ng [Ng10] など, 様々な人が調べている。

普通は, \(\R ^3\) や \(S^3\) に埋め込まれた \(S^1\) を考えるが, \[ \textrm {oriented surface}\times \R \] の中の結び目を knot on surface と呼び調べている人もいる。 Turaev の [Tur08] とそこにある参考文献をみるとよい。

より一般の\(3\)次元多様体の中の結び目はどれぐらい分かっているのだろうか。 射影空間の中の結び目については, Mroczkowski の [Mro03; Mro04] などがある。

References

[Arn04]

Vladimir I. Arnold. Arnold’s problems. Translated and revised edition of the 2000 Russian original, With a preface by V. Philippov, A. Yakivchik and M. Peters. Springer-Verlag, Berlin; PHASIS, Moscow, 2004, pp. xvi+639. isbn: 3-540-20614-0.

[Can78]

J. W. Cannon. “The recognition problem: what is a topological manifold?” In: Bull. Amer. Math. Soc. 84.5 (1978), pp. 832–866. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1978-14527-3.

[Che02a]

Yu. V. Chekanov. “Invariants of Legendrian knots”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002). Higher Ed. Press, Beijing, 2002, pp. 385–394. arXiv: math/0304294.

[Che02b]

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[COT03]

Tim D. Cochran, Kent E. Orr, and Peter Teichner. “Knot concordance, Whitney towers and \(L^2\)-signatures”. In: Ann. of Math. (2) 157.2 (2003), pp. 433–519. arXiv: math/9908117. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2003.157.433.

[CT04]

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[FQ90]

Michael H. Freedman and Frank Quinn. Topology of 4-manifolds. Vol. 39. Princeton Mathematical Series. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990, pp. viii+259. isbn: 0-691-08577-3.

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[Kau99]

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[Lib83a]

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[Lib83b]

A. Libgober. “Alexander modules of plane algebraic curves”. In: Low-dimensional topology (San Francisco, Calif., 1981). Vol. 20. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1983, pp. 231–247.

[LM06]

Constance Leidy and Laurentiu Maxim. “Higher-order Alexander invariants of plane algebraic curves”. In: Int. Math. Res. Not. (2006), Art. ID 12976, 23. arXiv: math/0509462. url: https://doi.org/10.1155/IMRN/2006/12976.

[Mro03]

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[Ng10]

Lenhard Ng. “Rational symplectic field theory for Legendrian knots”. In: Invent. Math. 182.3 (2010), pp. 451–512. arXiv: 0806.4598. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-010-0265-8.

[Tur08]

Vladimir Turaev. “Cobordism of knots on surfaces”. In: J. Topol. 1.2 (2008), pp. 285–305. arXiv: math/0703055. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtn002.

[Vas24]

V. A. Vassiliev. “Cohomology of spaces of complex knots”. In: Arnold Math. J. 10.3 (2024), pp. 323–353. arXiv: 2207.08247. url: https://doi.org/10.1007/s40598-023-00239-0.