複素解析 (関数論) と関連した事柄

ホモトピーや path に全く触れたことの無い人は, 1変数の複素解析, いわゆる関数論から入るのもいいかもしれない。 基本群や 被覆空間にも繋がる。 もちろん, Riemann 面など幾何学的な対象とも直接に関係がある。

関数論の教科書としては, Alfors の本 [Ahl78] が有名である。 他に [Con78; Con95] とかもある。 Needam の [ニーダ02] はユニークで面白いと思う。

Romik の本 [Rom23] は, 複素解析に関するいくつかの話題を解説した本であるが, 前半に基本的なことが簡単にまとめられているので便利である。 また道のホモトピーが定義され, 積分が両端を止めた道のホモトピーに依らないことが書いてあるのもよい。

また取り上げられている話題としても, 素数定理や modular form の他に, 他の複素解析の本では書かれることのない sphere packing も含まれている。 彼による \(8\) 次元の場合の Viazovska の定理の別証が解説されている。

具体的な関数も色々知っているとよい。例えば, dilogarithm などの hypergeometric function とか。

• hypergeometric function

多変数の複素解析やその global 化としての 複素多様体論は, 代数幾何や 層のコホモロジー と関係があり, ホモロジー代数が使われる。

複素数を 四元数に変えた quaternionic analysis というものを考えている人もいる。

• quaternionic analysis

Igor Frenkel と Libine [FL08] によると, 1930年代に Fueter により調べられた [Fue34; Fue35] ようである。 Sudbery [Sud79] は, Fueter とその共同研究者の仕事についての complete bibliography は Haefeli の [Hae47] に含まれている, と言っている。残念ながらドイツ語であるが。

グラフ上に離散化した discrete complex analysis というものもある。

• discrete complex analysis

References

[Ahl78]

Lars V. Ahlfors. Complex analysis. Third. International Series in Pure and Applied Mathematics. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978, pp. xi+331. isbn: 0-07-000657-1.

[Con78]

John B. Conway. Functions of one complex variable. Second. Vol. 11. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1978, pp. xiii+317. isbn: 0-387-90328-3.

[Con95]

John B. Conway. Functions of one complex variable. II. Vol. 159. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1995, pp. xvi+394. isbn: 0-387-94460-5.

[FL08]

Igor Frenkel and Matvei Libine. “Quaternionic analysis, representation theory and physics”. In: Adv. Math. 218.6 (2008), pp. 1806–1877. arXiv: 0711.2699. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2008.03.021.

[Fue34]

Run Fueter. “Die Funktionentheorie der Differentialgleichungen \(\Theta u=0\) und \(\Theta \Theta u=0\) mit vier reellen Variablen”. In: Comment. Math. Helv. 7.1 (1934), pp. 307–330. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01292723.

[Fue35]

Rud Fueter. “Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen”. In: Comment. Math. Helv. 8.1 (1935), pp. 371–378. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01199562.

[Hae47]

Hans Georg Haefeli. “Hyperkomplexe Differentiale”. In: Comment. Math. Helv. 20 (1947), pp. 382–420. url: https://doi.org/10.1007/BF02568139.

[Rom23]

Dan Romik. Topics in complex analysis. De Gruyter Graduate. De Gruyter, Berlin, [2023] ©2023, pp. ix+295. isbn: 978-3-11-079678-0; 978-3-11-079681-0; 978-3-11-079688-9. url: https://doi.org/10.1515/9783110796810.

[Sud79]

A. Sudbery. “Quaternionic analysis”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 85.2 (1979), pp. 199–224. url: https://doi.org/10.1017/S0305004100055638.

[ニーダ02]

T. ニーダム. ビジュアル複素解析. 東京: 培風館, 2002, p. 662. isbn: 4563011029.