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Euclid空間の限られた領域に, どれだけ同じ大きさの球を詰め込めるか, というのが sphere packing の問題である。3次元の場合,
Kepler の問題と呼ばれることもある。 この問題については, まずは, Conway と Sloane の本 [CS99] を挙げるべきだろう。
Zong の本 [Zon99] もある。
3次元の場合は, Hales により解決されたが, その概要 [Hal05] だけでも100ページを超える。更に 計算機による計算も使っている。
証明の詳細や関連する論文を集めたものとして [HF11] がある。
最近, 8次元と24次元の場合が解決されて大きな話題となった。 まず, 8次元の場合が Viazovska [Via17] により modular
form を用いて解決された。その方法の拡張により, 24次元の場合が, Viazovska と Cohn ら [Coh+17] により解決された。
Hales の論文と比べると, その短さが際立つ。
この breakthrough については, 多くの人が blog などに書いている。例えば, Kalai のblog, \(n\)-Category
Café, Quanta Magazine などで取り上げられている。Okounkov の [Oko23] もある。
また, 解説として Cohn の [Coh17] や de Laat と Vallentin の [LV16] がある。
更に, \(8\) 次元の場合, Romik [Rom23a] により別証が得られている。 これについても, Kalai が blog に書いている。
Romik は 複素解析に関する本 [Rom23b] の Chapter 6に, 彼の証明を書いているが, この本は自由に download
できる。
高次元の場合の新しい lower bound についても最近 breakthrough [Cam+] があったようである。これについても,
Kalai の blog post で知った。
球面の詰め込み方としては, 同じ大きさの球面を詰め込んでから, その隙間に球面を詰め, 更にその隙間により小さな球面を詰め,
という方法もある。有名なものでは Appolonian sphere packing と呼ばれるものがある。
- Apollonian sphere packing
より一般に, Kontorovich と Nakamura の [KN19] は \(S^{n}=\R ^{n}\cup \{\infty \}\) の \((n-1)\)次元球面による packing で, どの \(S^{n}\)
の点のどんな小さな近傍も packing の球面と交わるようなものを \(S^{n}\) の \(S^{n-1}\)-packing と呼んでいる。そして, そのようなものの中で
crystallographic sphere packing という class を定義し調べている。
- crystallographic sphere packing
Kontorovich は, Bogachev と Kolpakov と共に [BKK23] で crystallographic packing の他に
Kleinian sphere packing を調べている。 Kleinian sphere packing は Kapovich と Kontorovich
により [KK23] で導入されたものである。
References
-
[BKK23]
-
Nikolay Bogachev, Alexander Kolpakov, and Alex Kontorovich.
“Kleinian sphere packings, reflection groups, and arithmeticity”. In:
Math. Comp. 93.345 (2023), pp. 505–521. arXiv: 2203.01973. url:
https://doi.org/10.1090/mcom/3858.
-
[Cam+]
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Marcelo Campos, Matthew Jenssen, Marcus Michelen, and Julian
Sahasrabudhe. A new lower bound for sphere packing. arXiv:
2312.10026.
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[Coh+17]
-
Henry Cohn, Abhinav Kumar,
Stephen D. Miller, Danylo Radchenko, and Maryna Viazovska.
“The sphere packing problem in dimension 24”. In: Ann. of
Math. (2) 185.3 (2017), pp. 1017–1033. arXiv: 1603.06518. url:
https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.8.
-
[Coh17]
-
Henry Cohn. “A conceptual breakthrough in sphere packing”.
In: Notices Amer. Math. Soc. 64.2 (2017), pp. 102–115. arXiv:
1611.01685. url: https://doi.org/10.1090/noti1474.
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[CS99]
-
J. H. Conway and N. J. A. Sloane. Sphere packings, lattices
and groups. Third. Vol. 290. Grundlehren der Mathematischen
Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences].
With additional contributions by E. Bannai, R. E. Borcherds, J.
Leech, S. P. Norton, A. M. Odlyzko, R. A. Parker, L. Queen and B.
B. Venkov. New York: Springer-Verlag, 1999, pp. lxxiv+703. isbn:
0-387-98585-9.
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[Hal05]
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Thomas C. Hales. “A proof of the Kepler conjecture”. In: Ann. of
Math. (2) 162.3 (2005), pp. 1065–1185. url:
http://dx.doi.org/10.4007/annals.2005.162.1065.
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[HF11]
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Thomas Hales and Samuel Ferguson. The Kepler conjecture. The
Hales-Ferguson proof, Including papers reprinted from Discrete
Comput. Geom. 36 (2006), no. 1, Edited by Jeffrey C. Lagarias.
Springer, New York, 2011, pp. xiv+456. isbn: 978-1-4614-1128-4;
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[KK23]
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Michael Kapovich and Alex Kontorovich. “On superintegral
Kleinian sphere packings, bugs, and arithmetic groups”. In: J. Reine
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https://doi.org/10.1515/crelle-2023-0004.
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[KN19]
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Alex Kontorovich and Kei Nakamura. “Geometry and arithmetic
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[LV16]
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David de Laat and Frank Vallentin. “A breakthrough in sphere
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(5) 17.3 (2016). Includes an interview with Henry Cohn, Abhinav
Kumar, Stephen D. Miller and Maryna Viazovska, pp. 184–192.
arXiv: 1607.02111.
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[Oko23]
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Andrei Okounkov. “The magic of 8 and 24”. In: ICM—International
Congress of Mathematicians. Vol. 1. Prize lectures. EMS Press,
Berlin, [2023] ©2023, pp. 492–545. arXiv: 2207.03871.
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[Rom23a]
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Dan Romik. “On Viazovska’s modular form inequalities”. In: Proc.
Natl. Acad. Sci. USA 120.43 (2023), Paper No. e2304891120, 5.
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[Rom23b]
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Dan Romik. Topics in complex analysis. De Gruyter Graduate. De
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978-3-11-079681-0; 978-3-11-079688-9. url:
https://doi.org/10.1515/9783110796810.
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[Via17]
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Maryna S. Viazovska. “The sphere packing problem in dimension
8”. In: Ann.
of Math. (2) 185.3 (2017), pp. 991–1015. arXiv: 1603.04246. url:
https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.7.
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[Zon99]
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Chuanming Zong. Sphere packings. Universitext. Springer-Verlag,
New York, 1999, pp. xiv+241. isbn: 0-387-98794-0.
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