ホモトピー的構造を持った代数

このページのタイトルはちょっと長いが, 英語では homotopy algebra と言うことが多く, それほど複雑ではない。 日本語でも, そのままホモトピー代数と言いたいところであるが,

という翻訳は一般的なので, それを尊重すると

となり, 別のものになってしまう。 日本語でどう言えばいいかは悩ましいところである。

元々の homological algebra を翻訳した人がいけないのであるが, 今更 homological algebra を「ホモロジーの代数」とか「ホモロジー的代数」 と訳すのは無理がある。 数学用語は, どんどん新しいものが増えているので, 日本語に訳すときには, このようなことが起らないように, なるべく原語に忠実に訳すべきだろう。

さて, ここで考えるのは, (高次)ホモトピー結合性や可換性, より一般に operad の作用などの, ホモトピー論で最初に位相空間に対して定義された構造の類似を持つ代数的対象, 例えば \(A_{\infty }\)-algebra などのことである。

• operad 上の algebra

どういうものかについては, まず Vallette の解説 [Val14] を見るのがよいように思う。そこでは “homotopical algebra” という言葉が使われているが。 Khudaverdyan の thesis [Khu] の Chapter 2 でも簡潔にまとめられている。 今なら, 詳しくは Loday と Vallette の本 [LV12] を見るべきだろうが。

Vallette の解説では, \(A_{\infty }\)-algebra が, Khudaverdyan の thesis では \(L_{\infty }\)-algebra が例として使われているように, できるだけ多くの例に触れるのがいいと思う。

• ホモトピー的構造を持った代数の例

“Homotopy algebra” の “homotopy” という単語は operad の作用に由来する。 対応する空間の operad を知っていると理解しやすいだろう。

通常の代数的構造の一般化として Hochschild (co)homology などの (co)homology theory の拡張が考えられる。Hamilton と Lazarev の [HL09] を見るとよい。

Twisted tensor product の拡張については, M. Miller の [Mil11] で考えられている。

Homotopy algebraは, 空間と類似の性質を持つことが多い。Homology も定義され, 位相空間や多様体のホモロジーとよく似た性質を持つ。そのことについて, 幾何学的な視点からは, Hamilton と Lazarev の [HL] は良くまとまっている。 非可換幾何学への一つの approach として書いてある。Kontsevich と Soibelman の [KS09] は, 実際, \(A_{\infty }\)-algebra をある種の vector field を持つ formal graded manifold とみなそうという試みである。

ホモトピー論的な視点からは, model category の構造も重要である。Hinich の [Hin97] では次の三つのレベルで model structure が考察されている。

• ある operad 上のある algebra 上の module の圏
• ある operad 上の algebra の圏
• operad の圏

これらは全て, chain complex (differential graded module) の話である。 より一般的な symmetric monoidal model category での operad の圏についても, 「ある条件の下で」 model structure の存在が知られている。実は, Hinich の論文の主定理の一つである, chain complex の圏の operad の圏の model structure の存在も, 仮定の条件が緩すぎたようで, 反例が見付かっている。その反例と修正された定理の内容が [Hin] にある。

Dolgushev と Hoffnung と Rogers [DHR15] は, ある dg coaugmented cooperad \(\mathcal {C}\) の cobar construction 上の algebra のことを, type \(\mathcal {C}\) の homotopy algebra と呼んでいる。 その論文では [DR17] で構成された shifted \(L_{\infty }\)-algebra の symmetric monoidal category による enrichment より type \(\mathcal {C}\) の homotopy algebra の圏が \((\infty ,1)\)-category として構成されている。

• type \(\mathcal {C}\) homotopy algebra の \((\infty ,1)\)-category

ホモトピーと言えば deformation である。(厳密に) 結合的だったり可換だったりする積の deformation を考えるときに, operad を使うのは自然なアイデアである。

• deformation theory

このような代数的構造は, 数理物理, 特に string theory に現われるようで, 興味深い。 Classical closed string field theory が \(L_{\infty }\)-structure を持ち, open string field theory が \(A_{\infty }\)-structure を持つことから, Kajiura と Stasheff は, open-closed string field theory に対応する構造として OCHA (open-closed homotopy algebra) を [KS06] で定義した。

• OCHA

彼等は [KS08] という survey も書いている。Hoefel は [Hoe12] で OCHA を coalgebra の coderivation を用いて表わそうとしている。また, [Hoe09] では Voronov の Swiss cheese operad との関係を調べている。

同じく数理物理からのアイデアであるが, 確率論の拡張を homotopy algebra を用いて行なうことを考えているのは, Park らの [DPT15a; DPT15b] である。

• homotopy probability theory

DG algebra のように, curved version も考えられている。Nicolas の [Nic08] や Lazarev と Schedler の [LS12] など。

• curved \(A_{\infty }\)-algebra や curved \(L_{\infty }\)-algebra

References

[DHR15]

Vasily A. Dolgushev, Alexander E. Hoffnung, and Christopher L. Rogers. “What do homotopy algebras form?” In: Adv. Math. 274 (2015), pp. 562–605. arXiv: 1406 . 1751. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.01.014.

[DPT15a]

Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla. “Homotopy probability theory I”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.3 (2015), pp. 425–435. arXiv: 1302 . 3684. url: https://doi.org/10.1007/s40062-013-0067-y.

[DPT15b]

Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla. “Homotopy probability theory II”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.3 (2015), pp. 623–635. arXiv: 1302 . 5325. url: https://doi.org/10.1007/s40062-014-0078-3.

[DR17]

Vasily A. Dolgushev and Christopher L. Rogers. “On an enhancement of the category of shifted \(L_\infty \)-algebras”. In: Appl. Categ. Structures 25.4 (2017), pp. 489–503. arXiv: 1406 . 1744. url: https://doi.org/10.1007/s10485-016-9424-4.

[Hin]

V. Hinich. Erratum to "Homological algebra of homotopy algebras". arXiv: math/0309453.

[Hin97]

Vladimir Hinich. “Homological algebra of homotopy algebras”. In: Comm. Algebra 25.10 (1997), pp. 3291–3323. arXiv: q-alg/9702015. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879708826055.

[HL]

Alastair Hamilton and Andrey Lazarev. Homotopy algebras and noncommutative geometry. arXiv: math/0410621.

[HL09]

Alastair Hamilton and Andrey Lazarev. “Cohomology theories for homotopy algebras and noncommutative geometry”. In: Algebr. Geom. Topol. 9.3 (2009), pp. 1503–1583. arXiv: 0707.3937. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2009.9.1503.

[Hoe09]

Eduardo Hoefel. “OCHA and the swiss-cheese operad”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 4.1 (2009), pp. 123–151. arXiv: 0710. 3546.

[Hoe12]

Eduardo Hoefel. “On the coalgebra description of OCHA”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.3 (2012), pp. 734–741. arXiv: math/ 0607435. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2011.08.008.

[Khu]

David Khudaverdyan. Higher Lie and Leibniz algebras. arXiv: 1501. 01925.

[KS06]

Hiroshige Kajiura and Jim Stasheff. “Homotopy algebras inspired by classical open-closed string field theory”. In: Comm. Math. Phys. 263.3 (2006), pp. 553–581. arXiv: math / 0410291. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-006-1539-2.

[KS08]

Hiroshige Kajiura and Jim Stasheff. “Homotopy algebras of open-closed strings”. In: Groups, homotopy and configuration spaces. Vol. 13. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2008, pp. 229–259. arXiv: hep - th / 0606283. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2008.13.229.

[KS09]

M. Kontsevich and Y. Soibelman. “Notes on \(A_{\infty }\)-algebras, \(A_{\infty }\)-categories and non-commutative geometry”. In: Homological mirror symmetry. Vol. 757. Lecture Notes in Phys. Berlin: Springer, 2009, pp. 153–219. arXiv: math/0606241.

[LS12]

Andrey Lazarev and Travis Schedler. “Curved infinity-algebras and their characteristic classes”. In: J. Topol. 5.3 (2012), pp. 503–528. arXiv: 1009.6203. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jts011.

[LV12]

Jean-Louis Loday and Bruno Vallette. Algebraic operads. Vol. 346. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Heidelberg: Springer, 2012, pp. xxiv+634. isbn: 978-3-642-30361-6. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-30362-3.

[Mil11]

Micah Miller. “Homotopy algebra structures on twisted tensor products and string topology operations”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.2 (2011), pp. 1163–1203. arXiv: 1006 . 2781. url: https://doi.org/10.2140/agt.2011.11.1163.

[Nic08]

Pedro Nicolás. “The bar derived category of a curved dg algebra”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.12 (2008), pp. 2633–2659. arXiv: math/ 0702449. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.04.001.

[Val14]

Bruno Vallette. “Algebra + homotopy = operad”. In: Symplectic, Poisson, and noncommutative geometry. Vol. 62. Math. Sci. Res. Inst. Publ. Cambridge Univ. Press, New York, 2014, pp. 229–290. arXiv: 1202.3245.