トポロジーにおける operad

様々な operad の中でも, 代数的トポロジーを学ぶものとしては, まず May により発見された, 多重ループ空間の研究に使われるものに慣れ親しんでおくべきだろう。 これは operad の起源となったものでもある。 1重ループ空間の場合, つまり Stasheff の associahedra も operad として考えるべきである。

May の仕事も Stasheff の仕事もかなり前のものであるが, 最近の視点から書かれた解説として Mandell の [Man22] がある。

• little cubes operad とその変種
• associahedron の成すoperad

Little cube の成す空間は, Euclid 空間の configuration space とホモトピー同値であるが, configuration space は, 「点の moduli space」と考えることができる。 このような configuration space や moduli space の成す operad には重要なものが多い。

• moduli space の成す operad

Goodwillie calculus における Taylor tower の layer を調べる際にも operad が使われている。Ching の [Chi05] や Behrens の [Beh12] であるが, Kjaer の [Kja18] では, spectral Lie operad と呼ばれている。

Equivariant operad を考えることもできる。Westerland は [Wes08] で, その homotopy fixed point を取ることにより新しい operad を作る, ということを行なっている。またそれは spectrum の圏での operad に対する操作である。

ホモトピー論の視点からは, operad やその上の algebra の成す model category を考えたい。

• operad やそれに関係するものの成す model category

他にトポロジーに関連した話題としては, intersection theory との関連がある。 [Wil10; McC06] などを参照のこと。

Markl は, [Mar96] で rational homotopy theory の概念が定義できることを示している。

References

[Beh12]

Mark Behrens. “The Goodwillie tower and the EHP sequence”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 218.1026 (2012), pp. xii+90. arXiv: 1009. 1125.

[Chi05]

Michael Ching. “Bar constructions for topological operads and the Goodwillie derivatives of the identity”. In: Geom. Topol. 9 (2005), 833–933 (electronic). arXiv: math / 0501429. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2005.9.833.

[Kja18]

Jens Jakob Kjaer. “On the odd primary homology of free algebras over the spectral lie operad”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 13.3 (2018), pp. 581–597. arXiv: 1608 . 06605. url: https://doi.org/10.1007/s40062-017-0194-y.

[Man22]

Michael A. Mandell. “Operads and operadic algebras in homotopy theory”. In: Stable categories and structured ring spectra. Vol. 69. Math. Sci. Res. Inst. Publ. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2022, pp. 183–247. arXiv: 1912.13047.

[Mar96]

Martin Markl. “Models for operads”. In: Comm. Algebra 24.4 (1996), pp. 1471–1500. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879608825647.

[McC06]

J. E. McClure. “On the chain-level intersection pairing for PL manifolds”. In: Geom. Topol. 10 (2006), 1391–1424 (electronic). arXiv: math/0410450. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2006.10.1391.

[Wes08]

Craig Westerland. “Equivariant operads, string topology, and Tate cohomology”. In: Math. Ann. 340.1 (2008), pp. 97–142. arXiv: math/ 0605080. url: https://doi.org/10.1007/s00208-007-0140-0.

[Wil10]

Scott O. Wilson. “Rectifying partial algebras over operads of complexes”. In: Topology Appl. 157.18 (2010), pp. 2880–2888. arXiv: math/0410405. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2010.09.009.