Graded Manifolds and Related Topics

簡単に言うと, graded manifold とは, その可微分関数環の成す sheaf が 次数付き可換環の sheaf に拡張されている 可微分多様体のことである。 多様体自体に grading が入っているわけではないので, あまり良い用語とは思えない。

Graded manifold として最も古くから使われているのは supermanifold, つまり \(\Z /2\Z \) で次数付けられた 多様体だろう。

• supermanifold

Boyer と Sanchez-Valenzuela [BS91] によると, Lie supergroup と superhomogeneous space に関する最初の仕事は, Kostant の [Kos77] のようである。そこには Berezin の [Ber87] も挙げられているが, Karabegov と Neretin と Th. Voronov の [KNV13] によると, supermathematics の創始者は Berezin らしい。

Dumitrescu の [Dum08] には, Leites の [Leı̆80], Manin の本 [Man97], Deligne と Morgan の [DM99], Varadarajan の本 [Var04] などが参考文献として挙げられている。 DeWitt の本 [DeW92] や Caston と Fioresi (と Carmeli) の本 [CF; CCF11] もある。 この Caston ら本では algebraic supergroup も扱われている。

• algebraic supergroup

\(\Z \) による grading を持つものとして, Theodore Voronov [Vor02] の graded manifold がある。\(\Z \)-graded manifold については, Cattaneo と Schätz [CS11] の supersymmetry についての解説の section 3 に書かれている。

• \(\Z \)-graded manifold

より一般の grading をもつものとしては, Jiang の [Jia23] がある。

他にも, Kontsevich [Kon03] のものや Severa [Šev05] の N-manifold がある。

• Kontsevich’s graded manifold
• N-manifold

このような graded manifold の上に degree 1 の graded vector field \(Q\) で \([Q,Q]=0\) であるものが定義されているものを dg manifold とか NQ-manifold と言ったりする。NQ-manifold という用語は Ševera [Šev05] による。Laurent-Gengoux, Stiénon, Xu [LSX21] による Kapranov の仕事 [Kap99] に基いたものもある。

• NQ-manifold
• dg manifold
• Kapranov dg manifold

Cattaneo と Fiorenza と Longoni の [CFL05] では, graded manifold や dg manifold に対し Hochschild-Kostant-Rosenberg の定理の類似が成り立つことが示されている。

References

[Ber87]

Felix Alexandrovich Berezin. Introduction to superanalysis. Vol. 9. Mathematical Physics and Applied Mathematics. Edited and with a foreword by A. A. Kirillov, With an appendix by V. I. Ogievetsky, Translated from the Russian by J. Niederle and R. Kotecký, Translation edited by Dimitri Leı̆tes. Dordrecht: D. Reidel Publishing Co., 1987, pp. xii+424. isbn: 90-277-1668-4.

[BS91]

Charles P. Boyer and O. A. Sánchez-Valenzuela. “Lie supergroup actions on supermanifolds”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 323.1 (1991), pp. 151–175. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001621.

[CCF11]

Claudio Carmeli, Lauren Caston, and Rita Fioresi. Mathematical foundations of supersymmetry. EMS Series of Lectures in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2011, pp. xiv+287. isbn: 978-3-03719-097-5. url: https://doi.org/10.4171/097.

[CF]

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[CFL05]

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[CS11]

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[DeW92]

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[DM99]

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[Dum08]

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[Jia23]

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[Kap99]

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[Kon03]

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[Kos77]

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[Leı̆80]

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[LSX21]

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[Man97]

Yuri I. Manin. Gauge field theory and complex geometry. Second. Vol. 289. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Translated from the 1984 Russian original by N. Koblitz and J. R. King, With an appendix by Sergei Merkulov. Berlin: Springer-Verlag, 1997, pp. xii+346. isbn: 3-540-61378-1.

[Šev05]

Pavol Ševera. “Some title containing the words “homotopy” and “symplectic”, e.g. this one”. In: Travaux mathématiques. Fasc. XVI. Trav. Math., XVI. Univ. Luxemb., Luxembourg, 2005, pp. 121–137. arXiv: math/0105080.

[Var04]

V. S. Varadarajan. Supersymmetry for mathematicians: an introduction. Vol. 11. Courant Lecture Notes in Mathematics. New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2004, pp. viii+300. isbn: 0-8218-3574-2.

[Vor02]

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