Alexandroff Space

Alexandroff space とは, 任意の開集合族の共通部分が開集合になる位相空間である。 Riemann多様体の一般化として扱える距離空間で Alexandrov space と呼ばれるものがあるので混同しやすいが, nLab のページによると, この Alexandorff space は Paul Alexandroff にちなんで名付けれらたもので, 距離空間の方は Alexander Alexandrov によるらしい。

Finite \(T_0\)-space と finite poset の間の対応は Alexandroff space と preordered set の対応に拡張できる。

• Alexandroff space
• Alexandroff space の圏と preordered set の圏は同値
• \(T_0\) Alexandroff space の圏と poset の圏は同値

Alexandroff space については, Kukiela の [Kuk10] とそこに挙げられている文献を見るとよい。Finite \(T_0\)-space に関する Barmak と Minian の結果や Stong の結果の拡張も考えられている。

Alexandroff space の category と preorder の category の同値を含めた, 各種の duality については, Caramello の [Car] に category theory の視点から書かれている。Peter May の本 [May] にも詳しく書かれている。

Martins-Ferreira [Mar14] は, 更にこの対応を位相空間全体に拡張しようとしている。その論文では, preorder の一般化である fibrous preorder という構造が定義され, その category の subcategoryで, 位相空間の category と同値になるものがあることが示されている。

• fibrous preorder
• spatial fibrous preorder

一方, finite space に近い空間の class として locally finite space や strongly locally finite space がある。

• locally finite space
• strongly locally finite space

Hardie と Vermeulen の [HV93] で locally finite space のホモトピー論が調べられている。 Mondéjar の [Mon] では, strongly locally finite space との関係も書かれている。

References

[Car]

Olivia Caramello. A topos-theoretic approach to Stone-type dualities. arXiv: 1103.3493.

[HV93]

K. A. Hardie and J. J. C. Vermeulen. “Homotopy theory of finite and locally finite \(T_0\) spaces”. In: Exposition. Math. 11.4 (1993), pp. 331–341.

[Kuk10]

Michał Jerzy Kukieła. “On homotopy types of Alexandroff spaces”. In: Order 27.1 (2010), pp. 9–21. arXiv: 0901 . 2621. url: https://doi.org/10.1007/s11083-009-9134-8.

[Mar14]

Nelson Martins-Ferreira. “From A-spaces to arbitrary spaces via spatial fibrous preorders”. In: Categorical methods in algebra and topology. Vol. 46. Textos Mat./Math. Texts. Univ. Coimbra, Coimbra, 2014, pp. 221–235. arXiv: 1307.8307.

[May]

J.P. May. Finite spaces and larger contexts. url: https://math.uchicago.edu/~may/FINITE/FINITEBOOK/FINITEBOOKCollatedDraft.pdf.

[Mon]

Diego Mondéjar. Universal Alexandroff hyperspaces. arXiv: 2111. 04832.