Knot や link の多項式不変量

Knot や link に対しては, 古くから様々な多項式が, 不変量として定義されてきた。

古典的な不変量である Alexander polynomial は, 基本群と 被覆空間を知っていれば定義できるので, トポロジーの入門としてもいい題材である, と思う。 様々なアプローチがあるが, ホモトピー論的には, 全射準同型 \[ \pi _1(X) \longrightarrow \Z \] から \(X\) の \(\Z \)-cyclic covering \(X^c\) を作り, \(H_*(X^c)\) を \(\Z [t,t^{-1}]\)-module とみたとき, \(\Z [t,t^{-1}]\)-module としての代数的な不変量と考えるのがよいだろう。このアプローチについてば, Rolfsen の本 [Rol90] を見るとよい。この構成は, \(\pi _1(X)\) から \(\Z \) への全射準同型があれば可能であり, また \(H_*(X^c)\) ではなく \(H^*(X^c)\) や \(\pi _*(X^{c})\) を考えることもできる。 このような一般化については, [Max06] をみるとよい。そこでは hypersurface complement の場合に intersection homology との関係を調べている。

• Alexander module の定義
• Alexander polynomial の定義

他にも色々ある。

• Conway polynomial
• Jones polynomial と関連した話題
• Kauffman polynomial
• HOMFLY polynomial や HOMFLY-PT polynomial

それぞれに, twisted 版や colored 版が定義されていたりする。

Kucharski, Reineke, Stošić, Sułkowski [Kuc+17; Kuc+19] は knot から quiver を作り, その knot の colored HOMFLY-PT polynomial とその quiver の表現の moduli space が関係あることを指摘している。この対応を knots-quivers correspondence という。その後 Stošić [Sto] により一般化が提案されている。Jankowski ら [Jan+21] は, この対応で 1つの knot に対応する quiver 達が permutohedron に関連した空間で parametrize されることを示していて, 興味深い。

• knots-quivers correspondence

ホモロジー代数的には, それらの多項式不変量の categorification として定義される各種 homology が興味深い。 Khovanov [Kho00; Kho02; Bar02] が Jones polynomial に対し定義したのが最初だと思うが, その後様々なものが考えられ, 今では link homology と総称されているようである。

• link homology

更に, それらの元になっている stable homotopy type も発見されている。

• Khovanov homotopy type や類似の構成

References

[Bar02]

Dror Bar-Natan. “On Khovanov’s categorification of the Jones polynomial”. In: Algebr. Geom. Topol. 2 (2002), 337–370 (electronic). arXiv: math/0201043. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2002.2.337.

[Jan+21]

Jakub Jankowski, Piotr Kucharski, Hélder Larraguível, Dmitry Noshchenko, and Piotr Sułkowski. “Permutohedra for knots and quivers”. In: Phys. Rev. D 104.8 (2021), Paper No. 086017, 50. arXiv: 2105.11806. url: https://doi.org/10.1103/physrevd.104.086017.

[Kho00]

Mikhail Khovanov. “A categorification of the Jones polynomial”. In: Duke Math. J. 101.3 (2000), pp. 359–426. arXiv: math/9908171. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-00-10131-7.

[Kho02]

Mikhail Khovanov. “A functor-valued invariant of tangles”. In: Algebr. Geom. Topol. 2 (2002), 665–741 (electronic). arXiv: math/0103190. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2002.2.665.

[Kuc+17]

Piotr Kucharski, Markus Reineke, Marko Stošić, and Piotr Sułkowski. “BPS states, knots, and quivers”. In: Phys. Rev. D 96.12 (2017), 121902(R), 6. arXiv: 1707.02991. url: https://doi.org/10.1103/physrevd.96.121902.

[Kuc+19]

Piotr Kucharski, Markus Reineke, Marko Stošić, and Piotr Sułkowski. “Knots-quivers correspondence”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 23.7 (2019), pp. 1849–1902. arXiv: 1707.04017. url: https://doi.org/10.4310/atmp.2019.v23.n7.a4.

[Max06]

Laurentiu Maxim. “Intersection homology and Alexander modules of hypersurface complements”. In: Comment. Math. Helv. 81.1 (2006), pp. 123–155. arXiv: math/0409412. url: https://doi.org/10.4171/CMH/46.

[Rol90]

Dale Rolfsen. Knots and links. Vol. 7. Mathematics Lecture Series. Corrected reprint of the 1976 original. Houston, TX: Publish or Perish Inc., 1990, pp. xiv+439. isbn: 0-914098-16-0.

[Sto]

Marko Stošić. Generalized knots-quivers correspondence. arXiv: 2402.03066.