Link Homologies

Khovanov [Kho00; Kho02; Bar02] は, Khovanov homology と呼ばれる Jones polynomial の categorification を構成することに成功した。

• Khovanov homology

その動機や背景などについては, Khovanov と Lipshitz の [KL23] で説明されている。その動機は Witten-Reshetikhin-Turave invariant が 4次元の TQFT にリフトする, という Crane と Frenkel の予想 [CF94] だったようである。

Khovanov homology や knot Floer homology などの knot (link) homology については, Gukov の [GSV05; Guk+10; Guk] などがある。特に, [Guk] では surface operator を持つ \(4\) 次元の topological gauge theory がこの手の homology の natural framework であると言っていて興味深い。 Triangulated category への braid 群の作用も重要な役割を果しているようである。そして, Witten の [Wit12] が出た。これでKhovanov homology の完全な物理学的な解釈が得られたことになるのだろうか。

とにかく, 現在では Khovanov homology や類似の “knot (link) homology” の研究がとても盛んである。

Khovanov homology の解説としては, Paul Turner の [Tur17] がある。Khovanov homology も, homology というからにはfunctorになっていてほしい。実際, link や tangle の cobordism category の上の functor として構成しているのが, Clark と Morrison と Walker の [CMW09] である。

Turner は, Khovanov homology を計算する spectral sequence を構成 [Tur06; Tur08] している。また MacKaay と一緒 [MT07] に Khovanov homology を単純化した Bar-Natan の theory を調べている。解説としては, その Bar-Natan の [Bar02; Bar05] が分りやすい。[Bar05] では, Kapranov と Voevodsky の \(2\)-vector space の定義と同じ方法で cobordism category の matrix category (categorification) を定義し, それに topological quantum field theory を合成することにより complex を作っている。Naot [Nao06] は, その quantum field theory を取り換えることによる効果を考え, universal な quantum field theory を提案している。Khovanov 自身による解説としては, ICM 2006 の Proceeding の [Kho06] がある。

Khovanov homology と Hochschild homology の関係も発見されている。Przytycki の [Prz10] である。

Kronheimer と Mrowka は, [KM11b] で unknot や trefoil の場合に knot group の \(\mathrm {SU}(2)\) への準同形で, ある条件をみたすもの全体の成す空間のホモロジー群が, Khovanov homology と似ていることを指摘している。彼らは, より一般の \(3\)次元多様体の中の link に対し instanton Floer homology を定義し, Khovanov homology と関係があることを予想している。その後, [KM11a] で reduced Khovanov cohomology から instanton Floer homology に収束する spectral sequence を構成し, それにより reduced Khovanov cohomology が自明な knot を detect することを示している。

Khovanov homology の variation として, Lee が [Lee05] て定義したものがある。それを用いて Rasmussen [Ras10] が新しい不変量を定義している。

• Rasmussen の不変量

Link に対しては HOMFLY polynomial とその categorification である, Khovanov-Rozansky homology がある。

• HOMFLY polynomial [Fre+85]
• Khovanov-Rozansky homology [KR08a; KR08b]

他にも, Khovanov-Rozansky homology と knot Floer homology を統合するという, Dunfield と Gukov と Rasmussen の試み [DGR06] や向き付けられた曲面上の tangle の Khovanov 風ホモロジー [APS04; APS06] など, この分野は活発である。

Knot Floer homology は, Ozsváth と Szabó により, [OS04b] で定義された knot complement の Lagrangian Floer homology に基づいて Rasmussen の thesis [Ras03] と Ozsváth と Szabó [OS04a] により導入されたものである。 Dunfield と Gukov と Rasmussen の試みは, Khovanov-Rozansky homology と knot Floer homology の関係を調べるという自然な疑問から発生したものである。

このように, Khovanov-Rozansky homology と symplectic geometry との関連が明かになるにつれ, Khovanov-Rozanski homology を symplectic なデータから定義しようという試みも現われた。Seidel と Smith の [SS06] や, その拡張である Manolescu の [Man07] である。

一般化や変種も色々考えられている。

• virtual knot に対する Khovanov homology の一般化 [Man]
• tangle に対する Khovanov homology の一般化 (Bar-Natan の [Bar05] や Lauda と Pfeiffer の [LP09])

Khovanov の最初の構成 [Kho00] は, Lie algebra \(\mathfrak {sl}_2\) に関係したものである。Khovanov は, [Kho04b] では \(\mathfrak {sl}_3\) に基づいた link homology を構成している。Mackaay と Vaz は [MV07] で universal \(\mathfrak {sl}_3\)-link homology を構成 している。このように, Lie algebra \(\mathfrak {sl}_n\) とその standard representation から様々な link homology が得られるが, 他の Lie algebra や表現を用いることもできる, らしい。

更に, Khovanov は [Kho04a] では, Khovanov homology の center と Springer variety の cohomology の関係について述べている。 またいくつかの予想を立てている。Khovanov homology と Lie環の表現論との関係は, いわゆる Riemann-Hilbert correspondence を通して, flag variety \(G/P\) 上の perverse sheaf の圏に関係していて興味深い。 例えば, Stroppel の [Str09] を見るとよい。

\(\mathfrak {sl}_2\) の場合の categorification としては, ある smooth projective variety 上の \(\bbC ^{\times }\)-equivariant coherent sheaf の derived category を使うものもある。Cautis と Kamnitzer の [CK08a] である。\(\mathfrak {sl}_m\) への一般化 [CK08b] も行われている。

代数的トポロジーの視点からは, Lipshitz と Sarkar の構成 [LS14] が興味深い。彼等は, そのホモロジーが Khovanov homology に同型になる spectrumを構成した。

• Khovanov homotopy type や類似の構成

References

[APS04]

Marta M. Asaeda, Józef H. Przytycki, and Adam S. Sikora. “Categorification of the Kauffman bracket skein module of \(I\)-bundles over surfaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 4 (2004), 1177–1210 (electronic). arXiv: math/0409414. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2004.4.1177.

[APS06]

Marta M. Asaeda, Józef H. Przytycki, and Adam S. Sikora. “Categorification of the skein module of tangles”. In: Primes and knots. Vol. 416. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006, pp. 1–8. arXiv: math / 0410238. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/416/07883.

[Bar02]

Dror Bar-Natan. “On Khovanov’s categorification of the Jones polynomial”. In: Algebr. Geom. Topol. 2 (2002), 337–370 (electronic). arXiv: math/0201043. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2002.2.337.

[Bar05]

Dror Bar-Natan. “Khovanov’s homology for tangles and cobordisms”. In: Geom. Topol. 9 (2005), pp. 1443–1499. arXiv: math/0410495. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2005.9.1443.

[CF94]

Louis Crane and Igor B. Frenkel. “Four-dimensional topological quantum field theory, Hopf categories, and the canonical bases”. In: J. Math. Phys. 35.10 (1994). Topology and physics, pp. 5136–5154. url: http://dx.doi.org/10.1063/1.530746.

[CK08a]

Sabin Cautis and Joel Kamnitzer. “Knot homology via derived categories of coherent sheaves. I. The \({\mathfrak {sl}}(2)\)-case”. In: Duke Math. J. 142.3 (2008), pp. 511–588. arXiv: math / 0701194. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-2008-012.

[CK08b]

Sabin Cautis and Joel Kamnitzer. “Knot homology via derived categories of coherent sheaves. II. \(\mathfrak {sl}_m\) case”. In: Invent. Math. 174.1 (2008), pp. 165–232. arXiv: 0710.3216. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-008-0138-6.

[CMW09]

David Clark, Scott Morrison, and Kevin Walker. “Fixing the functoriality of Khovanov homology”. In: Geom. Topol. 13.3 (2009), pp. 1499–1582. arXiv: math / 0701339. url: https://doi.org/10.2140/gt.2009.13.1499.

[DGR06]

Nathan M. Dunfield, Sergei Gukov, and Jacob Rasmussen. “The superpolynomial for knot homologies”. In: Experiment. Math. 15.2 (2006), pp. 129–159. arXiv: math / 0505662. url: http://projecteuclid.org/euclid.em/1175789736.

[Fre+85]

P. Freyd et al. “A new polynomial invariant of knots and links”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 12.2 (1985), pp. 239–246. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1985-15361-3.

[GSV05]

Sergei Gukov, Albert Schwarz, and Cumrun Vafa. “Khovanov-Rozansky homology and topological strings”. In: Lett. Math. Phys. 74.1 (2005), pp. 53–74. arXiv: hep-th/0412243. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11005-005-0008-8.

[Guk]

Sergei Gukov. Surface Operators and Knot Homologies. arXiv: 0706.2369.

[Guk+10]

Sergei Gukov, Amer Iqbal, Can Kozçaz, and Cumrun Vafa. “Link homologies and the refined topological vertex”. In: Comm. Math. Phys. 298.3 (2010), pp. 757–785. arXiv: 0705.1368. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-010-1045-4.

[Kho00]

Mikhail Khovanov. “A categorification of the Jones polynomial”. In: Duke Math. J. 101.3 (2000), pp. 359–426. arXiv: math/9908171. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-00-10131-7.

[Kho02]

Mikhail Khovanov. “A functor-valued invariant of tangles”. In: Algebr. Geom. Topol. 2 (2002), 665–741 (electronic). arXiv: math/ 0103190. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2002.2.665.

[Kho04a]

Mikhail Khovanov. “Crossingless matchings and the cohomology of \((n,n)\) Springer varieties”. In: Commun. Contemp. Math. 6.4 (2004), pp. 561–577. arXiv: math/0202110. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0219199704001471.

[Kho04b]

Mikhail Khovanov. “sl(3) link homology”. In: Algebr. Geom. Topol. 4 (2004), pp. 1045–1081. arXiv: math / 0304375. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2004.4.1045.

[Kho06]

Mikhail Khovanov. “Link homology and categorification”. In: International Congress of Mathematicians. Vol. II. Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, pp. 989–999. arXiv: math/0605339.

[KL23]

Mikhail Khovanov and Robert Lipshitz. “Categorical lifting of the Jones polynomial: a survey”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 60.4 (2023), pp. 483–506. arXiv: 2202 . 02473. url: https://doi.org/10.1090/bull/1772.

[KM11a]

P. B. Kronheimer and T. S. Mrowka. “Khovanov homology is an unknot-detector”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 113 (2011), pp. 97–208. arXiv: 1005.4346. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10240-010-0030-y.

[KM11b]

P. B. Kronheimer and T. S. Mrowka. “Knot homology groups from instantons”. In: J. Topol. 4.4 (2011), pp. 835–918. arXiv: 0806. 1053. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtr024.

[KR08a]

Mikhail Khovanov and Lev Rozansky. “Matrix factorizations and link homology”. In: Fund. Math. 199.1 (2008), pp. 1–91. arXiv: math/0401268. url: http://dx.doi.org/10.4064/fm199-1-1.

[KR08b]

Mikhail Khovanov and Lev Rozansky. “Matrix factorizations and link homology. II”. In: Geom. Topol. 12.3 (2008), pp. 1387–1425. arXiv: math/0505056. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2008.12.1387.

[Lee05]

Eun Soo Lee. “An endomorphism of the Khovanov invariant”. In: Adv. Math. 197.2 (2005), pp. 554–586. arXiv: math/0210213. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2004.10.015.

[LP09]

Aaron D. Lauda and Hendryk Pfeiffer. “Open-closed TQFTS extend Khovanov homology from links to tangles”. In: J. Knot Theory Ramifications 18.1 (2009), pp. 87–150. arXiv: math/0606331. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0218216509006793.

[LS14]

Robert Lipshitz and Sucharit Sarkar. “A Khovanov stable homotopy type”. In: J. Amer. Math. Soc. 27.4 (2014), pp. 983–1042. arXiv: 1112.3932. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-2014-00785-2.

[Man]

Vassily Olegovich Manturov. The Khovanov Complex for Virtual Links. arXiv: math/0501317.

[Man07]

Ciprian Manolescu. “Link homology theories from symplectic geometry”. In: Adv. Math. 211.1 (2007), pp. 363–416. arXiv: math/ 0601629. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.09.007.

[MT07]

Marco Mackaay and Paul Turner. “Bar-Natan’s Khovanov homology for coloured links”. In: Pacific J. Math. 229.2 (2007), pp. 429–446. arXiv: math/0502445. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2007.229.429.

[MV07]

Marco Mackaay and Pedro Vaz. “The universal \(\mathrm {sl}_3\)-link homology”. In: Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), pp. 1135–1169. arXiv: math/ 0603307. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2007.7.1135.

[Nao06]

Gad Naot. “The universal Khovanov link homology theory”. In: Algebr. Geom. Topol. 6 (2006), pp. 1863–1892. arXiv: math / 0603347. url: https://doi.org/10.2140/agt.2006.6.1863.

[OS04a]

Peter Ozsváth and Zoltán Szabó. “Holomorphic disks and knot invariants”. In: Adv. Math. 186.1 (2004), pp. 58–116. arXiv: math/ 0209056. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2003.05.001.

[OS04b]

Peter Ozsváth and Zoltán Szabó. “Holomorphic disks and topological invariants for closed three-manifolds”. In: Ann. of Math. (2) 159.3 (2004), pp. 1027–1158. arXiv: math / 0101206. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2004.159.1027.

[Prz10]

Jozef H. Przytycki. “When the theories meet: Khovanov homology as Hochschild homology of links”. In: Quantum Topol. 1.2 (2010), pp. 93–109. arXiv: math / 0509334. url: http://dx.doi.org/10.4171/QT/2.

[Ras03]

Jacob Andrew Rasmussen. Floer homology and knot complements. Thesis (Ph.D.)–Harvard University. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2003, p. 126. isbn: 978-0496-39374-9. arXiv: math/0306378.

[Ras10]

Jacob Rasmussen. “Khovanov homology and the slice genus”. In: Invent. Math. 182.2 (2010), pp. 419–447. arXiv: math/0402131. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-010-0275-6.

[SS06]

Paul Seidel and Ivan Smith. “A link invariant from the symplectic geometry of nilpotent slices”. In: Duke Math. J. 134.3 (2006), pp. 453–514. arXiv: math / 0405089. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-06-13432-4.

[Str09]

Catharina Stroppel. “Parabolic category \(\mathcal {O}\), perverse sheaves on Grassmannians, Springer fibres and Khovanov homology”. In: Compos. Math. 145.4 (2009), pp. 954–992. arXiv: math/0608234. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X09004035.

[Tur06]

Paul R. Turner. “Calculating Bar-Natan’s characteristic two Khovanov homology”. In: J. Knot Theory Ramifications 15.10 (2006), pp. 1335–1356. arXiv: math/ 0411225. url: https://doi.org/10.1142/S0218216506005111.

[Tur08]

Paul Turner. “A spectral sequence for Khovanov homology with an application to \((3,q)\)-torus links”. In: Algebr. Geom. Topol. 8.2 (2008), pp. 869–884. arXiv: math / 0606369. url: https://doi.org/10.2140/agt.2008.8.869.

[Tur17]

Paul Turner. “Five lectures on Khovanov homology”. In: J. Knot Theory Ramifications 26.3 (2017), pp. 1741009, 41. arXiv: math/ 0606464. url: https://doi.org/10.1142/S0218216517410097.

[Wit12]

Edward Witten. “Fivebranes and knots”. In: Quantum Topol. 3.1 (2012), pp. 1–137. arXiv: 1101.3216. url: https://doi.org/10.4171/QT/26.