Trace Maps for Algebraic K-Theory

位相空間の \(K\)-theory の場合, ordinary cohomology と関連付けるものとして Chern character がある。\(\otimes \Q \) すると同型になるので, torsion free part は, rational cohomology を計算すれば分かることになる。

Algebraic \(K\)-theory についても, 他の (co)homology theory と関連づけるために同様の手法が使われる。 例えば, Beilinson regulator map と呼ばれる写像 [Beı̆84] がある。

• 各種 regulator map

Math Overflow のこの質問に対する回答を見るとよい。関連したことの解説への link もある。そこで触れられていない解説として, Goncharov の survey [Gon05] がある。また Tamme の thesis [Tam] の最初にも Dirichlet から始まる regulator の歴史が簡単にまとめられているので, それを見るとよい。

Chern character との関係では, 例えば Hamida [Ham00] がある。 Karoubi [Kar83; Kar87; CK88] の relative Chern character と Borel regulator との関係を調べている。

この Karoubi の relative Chern character は, Banach algebra の relative \(K\)-theory を定義域とし, cyclic homology に値を持つ。

より一般の, そしてより有用な写像として, algebraic \(K\)-theory から Hocschild homology や cyclic homology への写像として Dennis trace map や cyclotomic trace map がある。

• Dennis trace map
• cyclotomic trace map

Denis trace map は, Keith Dennis により環に対し定義された写像 \[ K_{i}(R) \rarrow {} \mathrm {HH}_{i}(R) \] である。Dennis による出版されたものはないが, Igusa の [Igu84] に Dennis の構成が書かれている。 その後, Goodwillie [Goo86] により simplicial ring に拡張された。 その後, ring spectrum や Waldhausen category に一般化されている。 Ring spectrum で考えると, topological Hochschild homology に値を持つ spectrum の写像 \[ K(R) \rarrow {} \mathrm {THH}(R) \] として定義すべきであることが分かる。これは, Bökstedt が topological Hochschild homology を導入すると同時に定義している。

Goodwillie の仕事が重要なのは, negative cyclic homology を導入し, Dennis trace map が negative cyclic homology を経由する \[ \xymatrix { K_{i}(R) \ar [dr] \ar [rr] & & \mathrm {HH}_{i}(R) \\ & \mathrm {HC}^{-}_{i}(R) \ar [ur] } \] ことを発見したことである。

そして, Bökstedt, Hsiang, Madsen [BHM93] が topological cyclic homologyを導入し, topological Hochschild homology に値を持つ Dennis trace map が \[ \xymatrix { K(R) \ar [dr] \ar [rr] & & \mathrm {THH}(R) \\ & \mathrm {TC}(R) \ar [ur] } \] と factor することを示している。この \(K(R)\to \mathrm {TC}(R)\) が cyclotomic trace map である。

Angeltveit らの [Ang+18] にも書かれているように, この trace map を使って algebraic \(K\)-theroy を調べる方法は, algebraic \(K\)-theory の研究を revolutionalize した。 その理由は, cyclotomic trace map により, topological cyclic homology が本質的な情報を取り出していることが分かるからである。 より正確には, Dundas-Goodwillie-McCarthy の定理があるからである。 これについては, Dundas, Goodwillie, McCarthy の本 [DGM13] がある。

• Dundas-Goodwillie-McCarthy の定理 [Goo86; Dun97; McC97]

大雑把にいうと, cyclotomic trace map \(K(R)\to \mathrm {TC}(R)\) の homotopy fiber は環 \(R\) に無関係であるということであり, 環に依存する情報は, topological cyclic homology が持っている, ということを意味する。

Elmanto と Soslino [ES] による stable \(\infty \)-category への一般化がある。

Hochschild homology は, 環 \(R\) とその bimodule \(M\) に対し定義されるから, 環の algebraic \(K\)-theory や topological Hochschild homology も, bimodule に係数を持ったものが存在して当然と思うが, Campbell らの [Cam+] でそのような relative 版と Dennis trace map の relative 版が定義されている。

References

[Ang+18]

Vigleik Angeltveit et al. “Topological cyclic homology via the norm”. In: Doc. Math. 23 (2018), pp. 2101–2163. arXiv: 1401.5001.

[Beı̆84]

A. A. Beı̆linson. “Higher regulators and values of \(L\)-functions”. In: Current problems in mathematics, Vol. 24. Itogi Nauki i Tekhniki. Moscow: Akad. Nauk SSSR Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., 1984, pp. 181–238.

[BHM93]

M. Bökstedt, W. C. Hsiang, and I. Madsen. “The cyclotomic trace and algebraic \(K\)-theory of spaces”. In: Invent. Math. 111.3 (1993), pp. 465–539. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01231296.

[Cam+]

Jonathan A. Campbell, John A. Lind, Cary Malkiewich, Kate Ponto, and Inna Zakharevich. \(K\)-theory of endomorphisms, the \(\mathit {TR}\)-trace, and zeta functions. arXiv: 2005.04334.

[CK88]

Alain Connes and Max Karoubi. “Caractère multiplicatif d’un module de Fredholm”. In: \(K\)-Theory 2.3 (1988), pp. 431–463. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00533391.

[DGM13]

Bjørn Ian Dundas, Thomas G. Goodwillie, and Randy McCarthy. The local structure of algebraic K-theory. Vol. 18. Algebra and Applications. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2013, pp. xvi+435. isbn: 978-1-4471-4392-5; 978-1-4471-4393-2.

[Dun97]

Bjørn Ian Dundas. “Relative \(K\)-theory and topological cyclic homology”. In: Acta Math. 179.2 (1997), pp. 223–242. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02392744.

[ES]

Elden Elmanto and Vladimir Sosnilo. On nilpotent extensions of \(\infty \)-categories and the cyclotomic trace. arXiv: 2010.09155.

[Gon05]

Alexander B. Goncharov. “Regulators”. In: Handbook of \(K\)-theory. Vol. 1, 2. Berlin: Springer, 2005, pp. 295–349. arXiv: math/0407308. url: http://dx.doi.org/10.1007/3-540-27855-9_8.

[Goo86]

Thomas G. Goodwillie. “Relative algebraic \(K\)-theory and cyclic homology”. In: Ann. of Math. (2) 124.2 (1986), pp. 347–402. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971283.

[Ham00]

Nadia Hamida. “Description explicite du régulateur de Borel”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 330.3 (2000), pp. 169–172. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0764-4442(00)00154-3.

[Igu84]

Kiyoshi Igusa. “What happens to Hatcher and Wagoner’s formulas for \(\pi _{0}C(M)\) when the first Postnikov invariant of \(M\) is nontrivial?” In: Algebraic \(K\)-theory, number theory, geometry and analysis (Bielefeld, 1982). Vol. 1046. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1984, pp. 104–172. url: https://doi.org/10.1007/BFb0072020.

[Kar83]

Max Karoubi. “Homologie cyclique et régulateurs en \(K\)-théorie algébrique”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 297.10 (1983), pp. 557–560.

[Kar87]

Max Karoubi. “Homologie cyclique et \(K\)-théorie”. In: Astérisque 149 (1987), p. 147.

[McC97]

Randy McCarthy. “Relative algebraic \(K\)-theory and topological cyclic homology”. In: Acta Math. 179.2 (1997), pp. 197–222. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02392743.

[Tam]

Georg Tamme. Karoubi’s relative Chern character, the rigid syntomic regulator, and the Bloch-Kato exponential map. arXiv: 1111.4109.