Spaces of Polygons and Linkages

異なる点の成す configuration space の変種としては, パワーショベルの腕のような, 関節のある腕の成す configuration space も考えられる。関節の位置が決まればその configuration が決まるので, 異なる点の成す configuration space と似ているが, 関節の間は伸び縮みできないのでかなり制限がつく。 関節の間の棒もぶつからないようにしようとすると, もっと動きが制限される。

まずは, このページを見るとよい。 Schütz の [Sch10] では, planar polygon space と呼ばれている。 代表的な結果としては, Kapovich と Millson の [KM95; KM02] がある。後者では, real algebraic set, complex algebraic set, smooth manifold などの実現可能性について調べられている。

日本人の結果としては [Kam92; Kam96; OHa07] などがある。Milgram と Trinkle の [MT04] というのもある。Farber と Schütz も [FS07] でホモロジーを調べている。 その変種のホモロジーを Farber と Fromm が [FF10] で調べている。彼等の [FF11] によると, motivation として統計物理の問題があるらしい。O’Hara の [OHa13] では Crippen という人の化 学関係の雑誌に発表された論文 [Cri92] が参照されている。 Configuration space の空間そのものの構造としては, 平面の場合に Panina の [Pan17] がある。

Hausmann らが調べている chain space というのもある。 [Hau07; FHS] など。 二点を結ぶそれぞれの辺の長さを指定した折れ線の成す空間である。 後者の論文では, diffeomorphism type がコホモロジーで決まるという Kevin Walker の予想が証明されている。 Schütz [Sch16a; Sch16b] は intersection homology を調べている。

射影空間の中の \(n\)角形の成す空間 (modulo projective transformation) を考えているのは, Richard Schwartz や Ovsienko や Tabachnikov ら [Sch08; OST10; MOT12] である。

平面の中の一辺の長さが \(n-2\) で他の辺が1の\(n\)角形の isometry class の成す空間が \(\RP ^{n-3}\) と同相であることが, Don Davis [Dav] によって示されている。 ということは, 平面の中の一辺の長さが \(r\) で他の辺の長さが \(1\) の \(n\)角形の isometry class の成す空間は実射影空間の一般化とみなすことができる。 Don Davis は, [Dav17] でその topological complexity を調べている。

グラフに関連した configuration space として, tensegrity の configuration space がある。 Tensegrity とは, 複数の棒をワイヤーで引っ張って組み合わせて作った構造物のことらしい。 Euclid 空間に埋め込まれたグラフを用いて, 数学的に定義することができる。 Bar-joint framework も同様に Euclid 空間に埋め込まれたグラフとして定義されるが, 頂点の間の tension は考えない。

• bar-joint framework and tensegrity

References

[Cri92]

Gordon M. Crippen. “Exploring the conformation space of cycloalkanes by linearized embedding”. In: J. Comput. Chem. 13.3 (1992), pp. 351–361. url: http://dx.doi.org/10.1002/jcc.540130308.

[Dav]

Donald M. Davis. Real projective space as a space of planar polygons. arXiv: 1501.02821.

[Dav17]

Donald M. Davis. “Topological complexity of some planar polygon spaces”. In: Bol. Soc. Mat. Mex. (3) 23.1 (2017), pp. 129–139. arXiv: 1504.00848. url: https://doi.org/10.1007/s40590-016-0093-y.

[FF10]

Michael Farber and Viktor Fromm. “Homology of planar telescopic linkages”. In: Algebr. Geom. Topol. 10.2 (2010), pp. 1063–1087. arXiv: 0909.3023. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2010.10.1063.

[FF11]

Michael Farber and Viktor Fromm. “Telescopic linkages and a topological approach to phase transitions”. In: J. Aust. Math. Soc. 90.2 (2011), pp. 183–195. arXiv: 1010 . 1388. url: http://dx.doi.org/10.1017/S144678871100125X.

[FHS]

Michael Farber, Jean-Claude Hausmann, and Dirk Schütz. On the cohomology ring of chains in \(\R ^d\). arXiv: 0903.0472.

[FS07]

M. Farber and D. Schütz. “Homology of planar polygon spaces”. In: Geom. Dedicata 125 (2007), pp. 75–92. arXiv: math/0609140. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10711-007-9139-7.

[Hau07]

Jean-Claude Hausmann. “Geometric descriptions of polygon and chain spaces”. In: Topology and robotics. Vol. 438. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 47–57. arXiv: math/ 0702521. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/438/08444.

[Kam92]

Yasuhiko Kamiyama. “An elementary proof of a theorem of T. F. Havel”. In: Ryukyu Math. J. 5 (1992), pp. 7–12.

[Kam96]

Yasuhiko Kamiyama. “Topology of equilateral polygon linkages”. In: Topology Appl. 68.1 (1996), pp. 13–31. url: http://dx.doi.org/10.1016/0166-8641(96)00046-6.

[KM02]

Michael Kapovich and John J. Millson. “Universality theorems for configuration spaces of planar linkages”. In: Topology 41.6 (2002), pp. 1051–1107. arXiv: math/9803150. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(01)00034-9.

[KM95]

Michael Kapovich and John Millson. “On the moduli space of polygons in the Euclidean plane”. In: J. Differential Geom. 42.2 (1995), pp. 430–464. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214457237.

[MOT12]

Sophie Morier-Genoud, Valentin Ovsienko, and Serge Tabachnikov. “2-frieze patterns and the cluster structure of the space of polygons”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 62 (2012), pp. 937–987. arXiv: 1008.3359. url: https://doi.org/10.5802/aif.2713.

[MT04]

R. James Milgram and J. C. Trinkle. “The geometry of configuration spaces for closed chains in two and three dimensions”. In: Homology Homotopy Appl. 6.1 (2004), pp. 237–267. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839553.

[OHa07]

Jun O’Hara. “The configuration space of planar spidery linkages”. In: Topology Appl. 154.2 (2007), pp. 502–526. arXiv: math/0505462. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2006.07.004.

[OHa13]

Jun O’Hara. “The configuration space of equilateral and equiangular hexagons”. In: Osaka J. Math. 50 (2013), pp. 477–489. arXiv: 1105. 5046. url: http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1371833496.

[OST10]

Valentin Ovsienko, Richard Schwartz, and Serge Tabachnikov. “The pentagram map: A discrete integrable system”. In: Comm. Math. Phys. 299.2 (2010), pp. 409–446. arXiv: 0810.5605. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-010-1075-y.

[Pan17]

Gaiane Panina. “Moduli space of a planar polygonal linkage: a combinatorial description”. In: Arnold Math. J. 3 (2017), pp. 351–364. arXiv: 1209.3241. url: https://doi.org/10.1007/s40598-017-0070-1.

[Sch08]

Richard Evan Schwartz. “Discrete monodromy, pentagrams, and the method of condensation”. In: J. Fixed Point Theory Appl. 3.2 (2008), pp. 379–409. arXiv: 0709 . 1264. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11784-008-0079-0.

[Sch10]

Dirk Schütz. “The isomorphism problem for planar polygon spaces”. In: J. Topol. 3.3 (2010), pp. 713–742. arXiv: 0906.4499. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtq024.

[Sch16a]

Dirk Schütz. “Intersection homology of linkage spaces”. In: J. Topol. Anal. 8.1 (2016), pp. 25–58. arXiv: 1306 . 4594. url: https://doi.org/10.1142/S1793525316500023.

[Sch16b]

Dirk Schütz. “Intersection homology of linkage spaces in odd-dimensional Euclidean space”. In: Algebr. Geom. Topol. 16.1 (2016), pp. 483–508. arXiv: 1407.4993. url: https://doi.org/10.2140/agt.2016.16.483.