Multiplier Algebras

単位元を持たない algebra に対し, 単位元を持った algebra を作る方法として multiplier algebra というものがある。

Janssen と Vercruysse [JV10] などによると, その起源は次のような仕事に見られ, 1950年代から考えられているようである。

• Hochschild [Hoc47]
• B.E. Johnson [Joh64]
• Wendel [Wen52]
• Helgason [Hel56]
• Dauns [Dau69]

この nLab page は, Akemann と Pedersen と Tomiyama の [APT73] を参照している。 他には, Lazarsfeld の lecture notes [Laz10] がある。 Van Daele の論文 [Van94] の Appendix にまとめがある。 \(C^{*}\)-algebra の場合は, Skoufranis の introduction [Sko] がある。

具体的には, algebra \(A\) に対し left multiplier \(f_{1}:A\to A\) と right multiplier \(f_{2}:A\to A\) の組 \((f_{1},f_{2})\) である条件をみたすものの集合 \(M(A)\) として定義される。そのような組 \((f_{1},f_{2})\) を multiplier と呼ぶ。

• left multiplier と right multiplier
• multiplier

\(A\) が locally compact Hausdorff space \(X\) の関数環 \(C_{0}(X)\) のとき, \(M(C_{0}(X))\) は \(X\) の Stone-Cech compactification の関数環になる。Akemann らの [APT73] は, この事実に基き, multiplier \(C^{*}\)-algebra を Stone-Cech compactification の noncommutative version とみなすという視点で書かれている。

Van Daele [Van94] は multiplier Hopf algebra を定義し, それを用いて [Van98] で algebraic quantum group を定義している。 Hopf algebroid 版 [TV18] も定義されている。

• multiplier Hopf algebra
• multiplier Hopf algebroid

更に, 圏論的な一般化である multiplier Hopf monoid [BL17b] や multiplier bimonoid [BL17a] も考えられている。

References

[APT73]

Charles A. Akemann, Gert K. Pedersen, and Jun Tomiyama. “Multipliers of \(C^{*}\)-algebras”. In: J. Functional Analysis 13 (1973), pp. 277–301. url: https://doi.org/10.1016/0022-1236(73)90036-0.

[BL17a]

Gabriella Böhm and Stephen Lack. “A category of multiplier bimonoids”. In: Appl. Categ. Structures 25.2 (2017), pp. 279–301. arXiv: 1509.07171. url: https://doi.org/10.1007/s10485-016-9429-z.

[BL17b]

Gabriella Böhm and Stephen Lack. “Multiplier Hopf monoids”. In: Algebr. Represent. Theory 20.1 (2017), pp. 1–46. arXiv: 1511.03806. url: https://doi.org/10.1007/s10468-016-9630-7.

[Dau69]

John Dauns. “Multiplier rings and primitive ideals”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 145 (1969), pp. 125–158. url: https://doi.org/10.2307/1995063.

[Hel56]

S. Helgason. “Multipliers of Banach algebras”. In: Ann. of Math. (2) 64 (1956), pp. 240–254. url: https://doi.org/10.2307/1969971.

[Hoc47]

G. Hochschild. “Cohomology and representations of associative algebras”. In: Duke Math. J. 14 (1947), pp. 921–948. url: http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077474484.

[Joh64]

B. E. Johnson. “An introduction to the theory of centralizers”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 14 (1964), pp. 299–320. url: https://doi.org/10.1112/plms/s3-14.2.299.

[JV10]

K. Janssen and J. Vercruysse. “Multiplier bi- and Hopf algebras”. In: J. Algebra Appl. 9.2 (2010), pp. 275–303. arXiv: 0901.3103. url: https://doi.org/10.1142/S0219498810003926.

[Laz10]

Robert Lazarsfeld. “A short course on multiplier ideals”. In: Analytic and algebraic geometry. Vol. 17. IAS/Park City Math. Ser. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, pp. 451–494. arXiv: 0901.0651.

[Sko]

Paul Skoufranis. An Introduction to Multiplier Algebras. url: https://pskoufra.info.yorku.ca/files/2016/07/Multiplier-Algebras.pdf.

[TV18]

Thomas Timmermann and Alfons Van Daele. “Multiplier Hopf algebroids: basic theory and examples”. In: Comm. Algebra 46.5 (2018), pp. 1926–1958. arXiv: 1307.0769. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2017.1363220.

[Van94]

A. Van Daele. “Multiplier Hopf algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 342.2 (1994), pp. 917–932. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154659.

[Van98]

A. Van Daele. “An algebraic framework for group duality”. In: Adv. Math. 140.2 (1998), pp. 323–366. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1998.1775.

[Wen52]

J. G. Wendel. “Left centralizers and isomorphisms of group algebras”. In: Pacific J. Math. 2 (1952), pp. 251–261. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103051872.