Bimonoids and Hopf Monoids

Hopf algebra は, (associative) algebra と coalgebra の構造を持ち, 更に antipode と呼ばれる写像を持つものであるが, associative algebra は module の category での monoid object であり, coalgebra は comonoid object である。その compatibility condition は, 元を取らずに可換図式で表すことができるが, antipode に対する条件も可換図式で表すことができる。

誰でも思うことは, bialgebra や Hopf algebra の定義を monoidal category での bimonoid object や Hopf monoid object に一般化することであるが, monoid structure と comonoid structure の compatibility の条件を述べるためには, \(H\otimes H\) の左右を入れ替える morphism が必要になる。ただ, それは symmetric monoidal である必要はなく braided monoidal でよい。

Yetter [Yet97] によると, このことを述べたのは Majid [Maj94] が最初のようである。誰でも分かることなので, 気がついていた人はたくさんいただろうが。

文献としては, Aguiar と Mahajan の本 [AM10] がある。

当然, bialgebra や Hopf algebra の一般化や変種を, bimonoid や Hopf monoid に対し一般化することも考えられている。 例えば, Böhm と Lack が, 一連の論文 [BL15; BL17a; BL17c; BL17b] で色々調べている multiplier bialgebra の一般化である multiplier bimonoid や, Buckley らが [Buc+21] で定義している monoidal bicategory での (op)lax Hopf monoid object がある。

• multiplier bimonoid
• (op)lax Hopf monoid

Hopf algebra に対する重要な概念の一般化としては, Bespalov, Kerler, Lyubashenko, Turaev [Bes+00] による integral の一般化がある。

• Hopf monoid の integral

References

[AM10]

Marcelo Aguiar and Swapneel Mahajan. Monoidal functors, species and Hopf algebras. Vol. 29. CRM Monograph Series. With forewords by Kenneth Brown and Stephen Chase and André Joyal. Providence, RI: American Mathematical Society, 2010, pp. lii+784. isbn: 978-0-8218-4776-3.

[Bes+00]

Yuri Bespalov, Thomas Kerler, Volodymyr Lyubashenko, and Vladimir Turaev. “Integrals for braided Hopf algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 148.2 (2000), pp. 113–164. arXiv: q-alg/9709020. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(98)00169-8.

[BL15]

Gabriella Böhm and Stephen Lack. “Multiplier bialgebras in braided monoidal categories”. In: J. Algebra 423 (2015), pp. 853–889. arXiv: 1405 . 4668. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2014.11.002.

[BL17a]

Gabriella Böhm and Stephen Lack. “A category of multiplier bimonoids”. In: Appl. Categ. Structures 25.2 (2017), pp. 279–301. arXiv: 1509.07171. url: https://doi.org/10.1007/s10485-016-9429-z.

[BL17b]

Gabriella Böhm and Stephen Lack. “A simplicial approach to multiplier bimonoids”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 24.1 (2017), pp. 107–122. arXiv: 1512 . 01259. url: https://doi.org/10.36045/bbms/1489888816.

[BL17c]

Gabriella Böhm and Stephen Lack. “Multiplier Hopf monoids”. In: Algebr. Represent. Theory 20.1 (2017), pp. 1–46. arXiv: 1511. 03806. url: https://doi.org/10.1007/s10468-016-9630-7.

[Buc+21]

Mitchell Buckley, Timmy Fieremans, Christina Vasilakopoulou, and Joost Vercruysse. “Oplax Hopf algebras”. In: High. Struct. 5.1 (2021), pp. 71–120. arXiv: 1710.01465.

[Maj94]

Shahn Majid. “Algebras and Hopf algebras in braided categories”. In: Advances in Hopf algebras (Chicago, IL, 1992). Vol. 158. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. New York: Dekker, 1994, pp. 55–105. arXiv: q-alg/9509023.

[Yet97]

David Yetter. “Portrait of the handle as a Hopf algebra”. In: Geometry and physics (Aarhus, 1995). Vol. 184. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. Dekker, New York, 1997, pp. 481–502.