Algebras Constructed from Graphs

グラフからは様々な方法で代数を作ることができる。 まず, 辺に向きが付いているとき, つまり quiver からは, path algebra が定義されるが, それをイデアルで割って様々な代数が作られる。 他にも quiver から作られる代数は色々ある。

• algebras constructed from quivers

グラフの辺にある方法で向きを付けて quiver にすれば quiver から algebra を作る方法が使えるが, 他にもグラフから quiver を作る方法は色々ある。 例えば, 頂点に weight が付き, 頂点の周りの cyclic ordering が指定されたグラフ (Brauer graph) から quiver を作り, そこから代数を作ったものとして, Donovan と Freislich [DF78] の Brauer graph algebra がある。

• Brauer graph algebra

Schroll による survey [Sch] があるが, それによると bounded derived category の幾何学的モデルがあったりして, 興味深い。

Quiver を経由せずにグラフの辺から生成された代数としては, 以下のようなものがある。

• Fomin-Kirillov algebra [FK99]

辺ではなく頂点で生成された代数も考えられている。

• edge ring [DE09]
• Postnikov Shapiro algebras [PS04]
• Khovanova の Clifford algebra [Kho10]

References

[DE09]

Anton Dochtermann and Alexander Engström. “Algebraic properties of edge ideals via combinatorial topology”. In: Electron. J. Combin. 16.2, Special volume in honor of Anders Bjorner (2009), Research Paper 2, 24. arXiv: 0810.4120. url: http://www.combinatorics.org/Volume_16/Abstracts/v16i2r2.html.

[DF78]

P. W. Donovan and M.-R. Freislich. “The indecomposable modular representations of certain groups with dihedral Sylow subgroup”. In: Math. Ann. 238.3 (1978), pp. 207–216. url: https://doi.org/10.1007/BF01420248.

[FK99]

Sergey Fomin and Anatol N. Kirillov. “Quadratic algebras, Dunkl elements, and Schubert calculus”. In: Advances in geometry. Vol. 172. Progr. Math. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1999, pp. 147–182.

[Kho10]

Tanya Khovanova. “Clifford algebras and graphs”. In: Geombinatorics 20.2 (2010), pp. 56–76. arXiv: 0810.3322.

[PS04]

Alexander Postnikov and Boris Shapiro. “Trees, parking functions, syzygies, and deformations of monomial ideals”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 356.8 (2004), 3109–3142 (electronic). arXiv: math/0301110. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-04-03547-0.

[Sch]

Sibylle Schroll. Brauer graph algebras. arXiv: 1612.00061.