グラフ上の discrete model

グラフは単純な構造であるが, 高次元の構造の1次元による近似とも考えられるので, 様々なモデルを構成するのに用いられる。

例えば, grid graph の independence complex を調べた Bousquet-Mélou と Linusson と Nevo の [BLN08] や Thapper の [Tha] では, Fendley らの [FSE05] が挙げられている。

Thapper や Huijse と Schoutens の [HS10] などによると, Fendley と Schoutens と van Eerten によって [FSE05] で予想されたことは, Jonsson により [Jon06] で証明されたらしい。

Sandpile model などの様々な数理モデルが考えられていて, 色々なネタがありそうである。Levine と Propp による AMS Notices の “What is\(\ldots \)” [LP10] がある。

• sandpile model
• sandpile group
• parking function と関連した話題

他にも, グラフ関係では, Potts model と Tutte polynomial の関係も知られている。

• Potts model

これについては Beaudin らの survey [Bea+10] をまずは見てみるのがよいと思う。

また, Potts model は, Temperley と Lieb により [TL71] で導入された Temperley-Lieb algebra の元にもなっている。 その後 Vaughan Jones [Jon83] により von Neumann algebra の文脈で独立に発見されたようであるが。

• Temperley-Lieb algebra

更に, 最近話題の dimer model は, 曲面上の graph の perfect matching からできる partition function を持つ。Kriz と Loebl と Somberg の [KLS13] の Introduction では, dimer model や Ising model と conformal field theory との関係が簡潔に説明してある。

• dimer model
• Ising model

離散モデルと言えるかどうか分からないが, グラフ上の discrete complex analysis というものもある。

• discrete complex analysis

References

[Bea+10]

Laura Beaudin, Joanna Ellis-Monaghan, Greta Pangborn, and Robert Shrock. “A little statistical mechanics for the graph theorist”. In: Discrete Math. 310.13-14 (2010), pp. 2037–2053. arXiv: 0804.2468. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2010.03.011.

[BLN08]

Mireille Bousquet-Mélou, Svante Linusson, and Eran Nevo. “On the independence complex of square grids”. In: J. Algebraic Combin. 27.4 (2008), pp. 423–450. arXiv: math/0701890. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10801-007-0096-x.

[FSE05]

Paul Fendley, Kareljan Schoutens, and Hendrik van Eerten. “Hard squares with negative activity”. In: J. Phys. A 38.2 (2005), pp. 315–322. eprint: \href{http://arxiv.org/abs/cond-mat/0408497}{arXiv:cond-mat/0408497}. url: http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/38/2/002.

[HS10]

Liza Huijse and Kareljan Schoutens. “Supersymmetry, lattice fermions, independence complexes and cohomology theory”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 14.2 (2010), pp. 643–694. arXiv: 0903.0784. url: http://projecteuclid.org/euclid.atmp/1288619155.

[Jon06]

Jakob Jonsson. “Hard squares with negative activity and rhombus tilings of the plane”. In: Electron. J. Combin. 13.1 (2006), Research Paper 67, 46 pp. (electronic). url: http://www.combinatorics.org/Volume_13/Abstracts/v13i1r67.html.

[Jon83]

V. F. R. Jones. “Index for subfactors”. In: Invent. Math. 72.1 (1983), pp. 1–25. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01389127.

[KLS13]

Igor Kriz, Martin Loebl, and Petr Somberg. “On discrete field theory properties of the dimer and Ising models and their conformal field theory limits”. In: J. Math. Phys. 54.5 (2013), pp. 053513, 25. arXiv: 1110.5425. url: https://doi.org/10.1063/1.4807308.

[LP10]

Lionel Levine and James Propp. “What is \(\dots \) a sandpile?” In: Notices Amer. Math. Soc. 57.8 (2010), pp. 976–979.

[Tha]

Johan Thapper. Independence Complexes of Cylinders Constructed from Square and Hexagonal Grid Graphs. arXiv: 0812.1165.

[TL71]

H. N. V. Temperley and E. H. Lieb. “Relations between the “percolation” and “colouring” problem and other graph-theoretical problems associated with regular planar lattices: some exact results for the “percolation” problem”. In: Proc. Roy. Soc. London Ser. A 322.1549 (1971), pp. 251–280.